Kenneth Cheng數學・模型・思考
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高一・紙本與投影

高一・數學短探究

14 章、85 個雙語短探究。每項 5–10 分鐘，先預測、比較例子，再在紙上講清楚理由。

核心課題 · 4 個短探究

01 集合

學生學習單教師參考・包含答案

  1. g10-01-01 · 5–10 分鐘

    元素還是子集？

    把 3 改寫成 {3}，問題會改變嗎？

    先備：數與大括號

核心課題 · 4 個短探究

02 常用邏輯用語

學生學習單教師參考・包含答案

  1. g10-02-01 · 5–10 分鐘

    命題的反例

    p⇒q 何時不成立？

    先備：不等式與真假

  2. g10-02-02 · 5–10 分鐘

    必要還是充分？

    哪個區間包含於哪個區間？

    先備：蘊含與區間

  4. g10-02-04 · 5–10 分鐘

    否定帶量詞命題

    否定「全部較大」是否等於「全部較小」？

    先備：量詞與嚴格不等式

核心課題 · 4 個短探究

03 一元二次不等式

學生學習單教師參考・包含答案

  2. g10-03-02 · 5–10 分鐘

    有多少個實零點？

    二次式不穿過橫軸，仍可以為正嗎？

    先備：二次方程與平方

  3. g10-03-03 · 5–10 分鐘

    端點應否包括？

    在零點處，< 與 ≤ 有何分別？

    先備：零點符號與端點記法

核心課題 · 4 個短探究

04 多項式除法與餘式定理

學生學習單教師參考・包含答案

  2. g10-04-02 · 5–10 分鐘

    缺項去了哪裏？

    綜合除法可否直接省略缺項係數？

    先備：多項式係數次序

核心課題 · 15 個短探究

05 函數概念與性質

學生學習單教師參考・包含答案

  1. g10-05-01 · 5–10 分鐘

    修補一條對應箭頭

    兩個輸入可否共用輸出？哪一個輸入破壞函數條件？

    先備：能閱讀函數的輸入、輸出及所述定義域；先在紙上寫預測。

  2. g10-05-02 · 5–10 分鐘

    公式相同就是同一函數？

    x＝0.5 能否區分有限定義域與區間 [−2,2]？

    先備：能閱讀函數的輸入、輸出及所述定義域；先在紙上寫預測。

  3. g10-05-03 · 5–10 分鐘

    哪個端點屬於集合？

    為何 √(x−3) 允許 3，但 1/(x−2) 不允許 2？

    先備：能閱讀函數的輸入、輸出及所述定義域；先在紙上寫預測。

  4. g10-05-04 · 5–10 分鐘

    化簡後仍要保留每項限制

    約去 x−1 後，原本缺少的輸入 x＝1 會回來嗎？

    先備：能閱讀函數的輸入、輸出及所述定義域；先在紙上寫預測。

  5. g10-05-05 · 5–10 分鐘

    這些點應該連線嗎？

    同一費用公式 y＝2x＋4 表示時數或件數；哪個圖容許 x＝2.5？

    先備：能閱讀函數的輸入、輸出及所述定義域；先在紙上寫預測。

  7. g10-05-07 · 5–10 分鐘

    交換兩部函數機器

    先乘 2 再加 3，與先加 3 再乘 2 相同嗎？

    先備：能閱讀函數的輸入、輸出及所述定義域；先在紙上寫預測。

  8. g10-05-08 · 5–10 分鐘

    最大值真的取得了嗎？

    y＝x 在 (0,2) 趨近 2，就有最大值嗎？

    先備：能閱讀函數的輸入、輸出及所述定義域；先在紙上寫預測。

  10. g10-05-10 · 5–10 分鐘

    對稱需要配對輸入

    x² 的定義域限制為 [0,3] 後，仍是偶函數嗎？

    先備：能閱讀函數的輸入、輸出及所述定義域；先在紙上寫預測。

  11. g10-05-11 · 5–10 分鐘

    五種冪函數，不同的禁用輸入

    x、x²、x³、√x、1/x 哪些在 −1 及 0 有定義？

    先備：能閱讀函數的輸入、輸出及所述定義域；先在紙上寫預測。

  12. g10-05-12 · 5–10 分鐘

    較大指數何時反而較小？

    對正數 x，x³ 一定大於 x² 嗎？

    先備：能閱讀函數的輸入、輸出及所述定義域；先在紙上寫預測。

  13. g10-05-13 · 5–10 分鐘

    用正確次序還原輸入

    若 f(2x＋1)＝6x＋5，怎樣求 f(u)，而非 f((u−1)/2)？

    先備：能閱讀函數的輸入、輸出及所述定義域；先在紙上寫預測。

  15. g10-05-15 · 5–10 分鐘

    平方可能產生增根

    為何 √(x＋2)＝x 平方後有兩個候選根，卻只有一個解？

    先備：實數運算及閱讀坐標；先在紙上寫預測。

核心課題 · 9 個短探究

06 指數函數與對數函數

學生學習單教師參考・包含答案

  1. g10-06-01 · 5–10 分鐘

    負指數表示倒數

    2⁻³ 是負數還是倒數？

    先備：實數運算及閱讀坐標；先在紙上寫預測。

  2. g10-06-02 · 5–10 分鐘

    分數指數表示根式

    16^(3/4) 要求做甚麼運算？

    先備：實數運算及閱讀坐標；先在紙上寫預測。

  5. g10-06-05 · 5–10 分鐘

    對數是在問指數

    log₂8 問的是哪個數？為何 log₂0 不可能？

    先備：實數運算及閱讀坐標；先在紙上寫預測。

  6. g10-06-06 · 5–10 分鐘

    交換坐標看反函數圖像

    若 (2,4) 在 y＝2ˣ 上，哪一點在 y＝log₂x 上？

    先備：實數運算及閱讀坐標；先在紙上寫預測。

  7. g10-06-07 · 5–10 分鐘

    乘積化成對數的和

    logₐ(u＋v)＝logₐu＋logₐv 嗎？

    先備：實數運算及閱讀坐標；先在紙上寫預測。

  8. g10-06-08 · 5–10 分鐘

    兩個整數輪次之間的臨界值

    100rⁿ 何時首次達到目標？為何把對數四捨五入可能錯？

    先備：實數運算及閱讀坐標；先在紙上寫預測。

  9. g10-06-09 · 5–10 分鐘

    遞減底數會反轉不等號

    logₐx<logₐb 一定推出 x<b 嗎？

    先備：實數運算及閱讀坐標；先在紙上寫預測。

核心課題 · 12 個短探究

07 三角函數

學生學習單教師參考・包含答案

  1. g10-07-01 · 5–10 分鐘

    一弧度量度甚麼？

    圓半徑加倍，角還是弧長加倍？

    先備：角、坐標及基本函數圖像。

  2. g10-07-02 · 5–10 分鐘

    一個圓，兩個坐標

    哪個坐標是正弦？符號如何隨象限改變？

    先備：角、坐標及基本函數圖像。

  3. g10-07-03 · 5–10 分鐘

    反射角，毋須重新計算

    為何 θ 與 180°−θ 的正弦相同，餘弦卻未必？

    先備：角、坐標及基本函數圖像。

  4. g10-07-04 · 5–10 分鐘

    平方會遺失符號

    sin²θ＋cos²θ＝1 能決定餘弦的正負嗎？

    先備：角、坐標及基本函數圖像。

  5. g10-07-05 · 5–10 分鐘

    把圓展開成波形

    圓上的動點如何產生正弦圖像？

    先備：角、坐標及基本函數圖像。

  6. g10-07-06 · 5–10 分鐘

    正切在哪裏中斷？

    正切圖像能通過 90° 嗎？

    先備：角、坐標及基本函數圖像。

  9. g10-07-09 · 5–10 分鐘

    振幅與反轉的波形

    係數為負，振幅也為負嗎？

    先備：角、坐標及基本函數圖像。

  10. g10-07-10 · 5–10 分鐘

    頻率壓縮橫軸

    為何周期是 2π/|ω|，不是 2πω？

    先備：角、坐標及基本函數圖像。

  11. g10-07-11 · 5–10 分鐘

    相位要除以頻率

    加上 φ 是否一律平移 −φ？

    先備：角、坐標及基本函數圖像。

  12. g10-07-12 · 5–10 分鐘

    摩天輪需要起點

    只知振幅與周期，能確定高度模型嗎？

    先備：角、坐標及基本函數圖像。

大綱補充 · 6 個短探究

08 平面向量

學生學習單教師參考・包含答案

  2. g10-08-02 · 5–10 分鐘

    繞路與最後位移

    兩段位移先後次序改變，終點會變嗎？

    先備：坐標、位移及勾股定理。

  3. g10-08-03 · 5–10 分鐘

    負倍數反轉方向

    乘以 −2 會改變甚麼？

    先備：坐標、位移及勾股定理。

  4. g10-08-04 · 5–10 分鐘

    兩個方向要互不共線

    任意兩個向量都能唯一定位平面每個點嗎？

    先備：坐標、位移及勾股定理。

  6. g10-08-06 · 5–10 分鐘

    平移中點與距離

    兩端點一起平移，甚麼改變、甚麼不變？

    先備：坐標、位移及勾股定理。

大綱補充 · 5 個短探究

09 解三角形

學生學習單教師參考・包含答案

  2. g10-09-02 · 5–10 分鐘

    勾股定理多了一項修正

    夾角不是 90° 時，勾股關係如何改變？

    先備：三角形內角、正弦及餘弦。

  5. g10-09-05 · 5–10 分鐘

    不用過河也能量距離

    一條基線與兩個觀測角能確定甚麼？

    先備：三角形內角、正弦及餘弦。

大綱補充 · 6 個短探究

10 立體幾何初步

學生學習單教師參考・包含答案

  2. g10-10-02 · 5–10 分鐘

    圖上長度未必是真長

    相等的垂直邊，在斜二測圖會看似不等長嗎？

    先備：平面面積、勾股定理及單位。

  3. g10-10-03 · 5–10 分鐘

    圓錐高不等於母線

    側面積公式應使用哪條長度？

    先備：平面面積、勾股定理及單位。

  4. g10-10-04 · 5–10 分鐘

    同底同垂直高

    柱、錐體積由哪條高決定？

    先備：平面面積、勾股定理及單位。

  5. g10-10-05 · 5–10 分鐘

    圓台是兩個圓錐之差

    圓台體積可以用上下底面積的平均值嗎？

    先備：平面面積、勾股定理及單位。

附加數學 · 4 個短探究

11 變數法

學生學習單教師參考・包含答案

附加數學 · 3 個短探究

12 多項式公因式與公倍式

學生學習單教師參考・包含答案

  2. g10-12-02 · 5–10 分鐘

    最少需要哪些因式？

    直接把 A、B 相乘，為何通常用多了因式？

    先備：最大公因式與因式計數

附加數學 · 4 個短探究

13 部分分式

學生學習單教師參考・包含答案

  3. g10-13-03 · 5–10 分鐘

    先除法，再分解

    多項式部分從何而來？

    先備：多項式除法與簡單分式

  4. g10-13-04 · 5–10 分鐘

    約分能填補空點嗎？

    共同定義域上數值相等，是否等於定義域相同？

    先備：定義域、約分與函數相等

附加數學 · 5 個短探究

14 空間中的平行與垂直

學生學習單教師參考・包含答案

  1. g10-14-01 · 5–10 分鐘

    不相交未必平行

    空間兩線可以既不相交、又不平行嗎？

    先備：點、直線、平面及向量方向。

  2. g10-14-02 · 5–10 分鐘

    線面平行須在平面外

    線面平行判定可以刪去「平面外」嗎？

    先備：點、直線、平面及向量方向。

  3. g10-14-03 · 5–10 分鐘

    兩條測試線必須相交

    兩條平行測試線，足以證明兩個平面平行嗎？

    先備：點、直線、平面及向量方向。

  4. g10-14-04 · 5–10 分鐘

    垂直兩條平行線仍不足

    線面垂直判定為何要求兩條線相交？

    先備：點、直線、平面及向量方向。