g10-05-09 · 核心課題
各段遞減等於整個定義域遞減嗎？
1/x 在所有非零實數上都是遞減嗎？
1 分鐘・紙上預測
先猜 f(−1) 與 f(1) 的大小，再與輸入的大小比較。
先討論或寫下判斷，毋須輸入文字即可繼續。
x₁ = 1，x₂ = 2。f(x₂)−f(x₁) = -0.5。
2 分鐘・解釋與修訂
你嘅猜想需要加上咩條件？
比較至少兩個例子。寫出理由，再一齊核對解釋。
揭示解釋與條件
1/x 分別在 (−∞,0) 及 (0,∞) 遞減；跨零時 −1<1 但 f(−1)＝−1<f(1)＝1，反駁整個定義域遞減。
條件：嚴格遞減要求每對允許的 x₁<x₂ 都有 f(x₁)>f(x₂)；x＝0 不允許。
數學論證：同號的 x₁<x₂ 滿足 1/x₁−1/x₂＝(x₂−x₁)/(x₁x₂)>0；跨零時分母為負，符號相反。
1 分鐘・離堂檢核
給一對輸入反駁 1/x 在整個定義域遞減。
作答後核對
x₁＝−1、x₂＝1；輸入遞增，輸出亦由 −1 增至 1。
教師提示與延伸
先備：能閱讀函數的輸入、輸出及所述定義域；先在紙上寫預測。
追問：保持 x₁<x₂ 可見，追問反例否定了「任意一對」的甚麼意思。
迷思：兩段各自遞減，聯集上就一定遞減。
挑戰：對 (0,∞) 上的 2x²＋1，用平方差證明遞增。
建議時間：預測 1 分鐘、對照 3 分鐘、解釋 2 分鐘、檢核 1 分鐘。觀察可以提出猜想，不能證明所有輸入都成立。