檢驗單調性猜想
紙本起始模型拖動手柄，或先選取物件，再點按目的地。
先講出理由，再檢查。
數值記錄
| x₁ | x₂ | f(x₁) | f(x₂) | f(x₂) − f(x₁) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 1 | 0.5 | -0.5 |
點選及鍵盤操作
按 Tab 選取物件；方向鍵移動手柄，Enter 選取卡片或放到目的地。
選取物件
選取目的地
本次課堂作品
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第三章・函數
用定義說明單調性
以指定區間內任意有序輸入證明單調性，並用一個反例推翻過度概括的說法。
第三章・函數
用定義說明單調性
班別 ______ 姓名 __________________ 日期 __________
幾個樣本一直上升，就證明整個區間都遞增嗎？
我的預測與理由
先預測 1/x 是否在整個定義域遞減，分別考慮零的同側兩點及跨越零的兩點。
證據與觀察
對 1/x 測試有序輸入 (−2,−1)、(1,2)、(−1,1)，記錄輸出次序是否符合遞減。
對 f(x)＝2x²＋1，取任意 0<x₁<x₂，把 f(x₂)−f(x₁) 因式分解，並逐一標明因子的符號。
對 −x²＋4x＋1 配方，記錄取得最大值的位置，並解釋少量樣本為何不能排除未看見的更大值。
解釋或提出反例
遷移
以任意 x₁<x₂ 證明 h(x)＝5−3x 在實數上嚴格遞減，先寫差的符號，再下結論。
課末檢核
有學生說：「1/x 每條分支都向下，所以在整個定義域遞減。」給一個反例，並寫出兩個正確遞減區間。
第三章・函數 · 教師參考
用定義說明單調性
3.2.1(第9課時) · 09_用定義說明單調性.docx
5 分鐘預測倒數命題；12 分鐘找反例及分解差式；8 分鐘整理定義法證明；12 分鐘紙本說理；3 分鐘課末檢核。
幾個樣本一直上升，就證明整個區間都遞增嗎？
先預測 1/x 是否在整個定義域遞減，分別考慮零的同側兩點及跨越零的兩點。
證據任務
- 對 1/x 測試有序輸入 (−2,−1)、(1,2)、(−1,1)，記錄輸出次序是否符合遞減。
- 對 f(x)＝2x²＋1，取任意 0<x₁<x₂，把 f(x₂)−f(x₁) 因式分解，並逐一標明因子的符號。
- 對 −x²＋4x＋1 配方，記錄取得最大值的位置，並解釋少量樣本為何不能排除未看見的更大值。
參考說理
在區間上嚴格遞增，要求該區間內每一對 x₁<x₂ 都滿足 f(x₁)<f(x₂)。有限測試只能形成猜想，不能證明這個全稱命題。對 2x²＋1，任意 0<x₁<x₂ 時，差 2(x₂−x₁)(x₂＋x₁)>0，因此證明遞增。對 1/x，差為 −(x₂−x₁)/(x₁x₂)，兩輸入在零同側時為負。跨零反例 −1<1 的輸出卻為 −1<1，否定它在整個挖去零的定義域遞減。
用定義證明函數在 (0,∞) 遞增。
- 對任意 0<x₁<x₂，x₁−x₂<0，而 x₁＋x₂>0。
- 所以 f(x₁)−f(x₂)<0，即 f(x₁)<f(x₂)，證明在 (0,∞) 嚴格遞增。
用配方法求最大值並說明理由。
- 因為 (x−2)²≥0，所以每個實數 x 都有 f(x)≤5。
- x＝2 時等號成立；最大值為 5，在 2 取得。
遷移與課末檢核
以任意 x₁<x₂ 證明 h(x)＝5−3x 在實數上嚴格遞減，先寫差的符號，再下結論。
有學生說：「1/x 每條分支都向下，所以在整個定義域遞減。」給一個反例，並寫出兩個正確遞減區間。
取 −1<1，f(−1)＝−1<f(1)＝1，與遞減要求相反。它分別在 (−∞,0) 及 (0,∞) 遞減。
- 選零兩側、按大小排列且被允許的輸入。
- 分開列兩個區間，並排除零。
追問
- 定義中哪個字眼不能靠三個樣本驗證？
- 證明哪一步使用了 x₁、x₂ 都為正的條件？
預期回應
- 學生可能把數點當證明；請寫任意兩點，找出欠缺的符號理由。
- 因式分解即使正確，若忘了相減方向仍會下錯結論。
混淆
- 不可把跨越定義域空缺的遞減區間直接合併。
- 求最值須同時證明界限及在允許輸入取得等號。
板書
- 取區間內任意 x₁<x₂。
- 比較差→判斷符號→套用定義。
- 一個反例可推翻全稱命題；少量樣本不能證明它。