標示最值，檢查能否取得
紙本起始模型拖動手柄，或先選取物件，再點按目的地。
先講出理由，再檢查。
數值記錄
| 點 | t | h(t) | 所屬／差值 |
|---|---|---|---|
| 游標 | 2 | 5 | 允許 |
| 我的最大值候選 | 3 | 3.5 | 允許 |
| 我的最小值候選 | 4 | 2 | 允許 |
點選及鍵盤操作
按 Tab 選取物件；方向鍵移動手柄，Enter 選取卡片或放到目的地。
選取物件
選取目的地
本次課堂作品
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第三章・函數
從圖像看升降與最大最小值
描述升降區間，區分最值與取得最值的輸入，並檢查界限是否實際取得。
第三章・函數
從圖像看升降與最大最小值
班別 ______ 姓名 __________________ 日期 __________
輸出愈來愈接近某個界限，就一定有最大值或最小值嗎？
我的預測與理由
先預測 y＝x 在 [0,2] 的最大及最小值，再改為 (0,2)；判斷只刪端點會否改變答案。
證據與觀察
以直線連接水位點 (0,1)、(2,5)、(4,2)、(6,4)，記錄上升及下降區間。
記錄全程最高及最低水位與發生時間，並比較時刻 4 的局部低點與全程最低點。
對 (0,2) 上的 y＝x，選一個接近 2 的輸出，再找更大的允許輸出；接近 0 時則找更小的允許輸出。
解釋或提出反例
遷移
f(x)＝(x−2)²＋1，定義域改為 [3,5]，求最大及最小值；解釋為何不能直接使用原拋物線頂點作最小值。
課末檢核
f(x)＝x，定義域為 (0,2]。分別說明是否有最大值及最小值，並解釋端點的影響。
第三章・函數 · 教師參考
從圖像看升降與最大最小值
3.2.1(第8課時) · 08_從圖像看升降與最大最小值.docx
5 分鐘預測開閉區間；12 分鐘讀水位圖；8 分鐘說明可取得性；12 分鐘紙本最值；3 分鐘課末檢核。
輸出愈來愈接近某個界限，就一定有最大值或最小值嗎？
先預測 y＝x 在 [0,2] 的最大及最小值，再改為 (0,2)；判斷只刪端點會否改變答案。
證據任務
- 以直線連接水位點 (0,1)、(2,5)、(4,2)、(6,4)，記錄上升及下降區間。
- 記錄全程最高及最低水位與發生時間，並比較時刻 4 的局部低點與全程最低點。
- 對 (0,2) 上的 y＝x，選一個接近 2 的輸出，再找更大的允許輸出；接近 0 時則找更小的允許輸出。
參考說理
由左向右讀圖：在所述區間內，較大輸入給較大輸出便是遞增。折線水位模型的最大值為 5，在時刻 2 取得；最小值為 1，在時刻 0 取得。時刻 4 的局部低點 2 並非全程最小值。最值必須實際取得；對 (0,2) 上的 y＝x，任意輸出 x 都可被仍在範圍內的 (x＋2)/2 超過，也可被 x/2 低於，所以沒有最大值或最小值，儘管 0 及 2 是界限。
描述指定定義域上的升降區間及最小值。
- 頂點為 (2,1)；函數在 [0,2] 遞減，在 [2,5] 遞增。
- 最小值為 1，在 x＝2 時取得。
比較刪去端點前後的最值。
- 在 [0,2]，x＝0 時最小值為 0，x＝2 時最大值為 2。
- 在 (0,2)，兩端點都不被允許，每個允許輸出都有更大及更小的允許輸出，所以兩種最值都不存在。
遷移與課末檢核
f(x)＝(x−2)²＋1，定義域改為 [3,5]，求最大及最小值；解釋為何不能直接使用原拋物線頂點作最小值。
f(x)＝x，定義域為 (0,2]。分別說明是否有最大值及最小值，並解釋端點的影響。
x＝2 時最大值為 2。沒有最小值：0 被排除，而且任意允許 x 的 x/2 仍被允許，輸出更小。
- 區分已取得的最大值與未取得的下界。
- 給出適用於每個候選最小值的理由，不只列小數樣本。
追問
- 2 是函數值，還是取得該值的輸入？
- 若有人說 (0,2) 的最小值是 0.001，你能否總是找到更小的允許值？
預期回應
- 學生可能把時刻 4 的局部低點當成最小值；與起點水位比較。
- 學生可能把開區間的 0、2 當最值；檢查相應輸入是否在定義域內。
混淆
- 水位例子以直線連接各點，是明確指定的模型假設。
- 有限圖窗不能確立無界定義域上的全域最值。
板書
- 單調性須說明在哪個區間。
- 最值＋取得最值的輸入。
- 界限實際取得時，才可能成為最值。