排列函數機器次序
紙本起始模型拖動手柄，或先選取物件，再點按目的地。
先講出理由，再檢查。
數值記錄
| 機器次序 | x | 中間值 | 最後輸出 |
|---|---|---|---|
| f(u) = 2u → g(u) = u + 3 | 2 | 送入輸入數值卡 | 送入輸入數值卡 |
| g(u) = u + 3 → f(u) = 2u | 2 | 送入輸入數值卡 | 送入輸入數值卡 |
點選及鍵盤操作
按 Tab 選取物件；方向鍵移動手柄，Enter 選取卡片或放到目的地。
選取物件
選取目的地
本次課堂作品
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第三章・函數
複合函數是依次完成兩個步驟
追蹤內層及外層步驟，比較先後次序，並檢查中間輸出是否被允許。
第三章・函數
複合函數是依次完成兩個步驟
班別 ______ 姓名 __________________ 日期 __________
把兩部函數機器的次序交換，答案會一樣嗎？
我的預測與理由
由 2 開始，先猜想「加 3 再乘 2」及「乘 2 再加 3」各得甚麼，再操作機器。
證據與觀察
對 f(u)＝2u、g(u)＝u＋3，以 2 作輸入，記錄兩種次序的輸入、中間值及最後輸出。
以 0 及 −3 重做，再寫 f(g(x)) 及 g(f(x)) 的一般公式，比較兩者差值。
選投影的「減 1，再開平方」機器：先用 g(x)＝x−1，再用 f(u)＝√u，測試 x＝0、1、2，記錄哪個中間值不能通過外層機器。
解釋或提出反例
遷移
g(x)＝x＋1、f(u)＝1/u，求 f(g(x)) 及定義域；再與 g(f(x)) 比較，指出公式及定義域的差別。
課末檢核
f(u)＝√u、g(x)＝x＋3。求 f(g(−2))，並寫 f(g(x)) 的定義域。
第三章・函數 · 教師參考
複合函數是依次完成兩個步驟
補充(第7課時) · 07_複合函數是依次完成兩個步驟.docx
5 分鐘預測次序影響；12 分鐘操作及交換機器；8 分鐘推導公式與定義域；12 分鐘紙本練習；3 分鐘課末檢核。
把兩部函數機器的次序交換，答案會一樣嗎？
由 2 開始，先猜想「加 3 再乘 2」及「乘 2 再加 3」各得甚麼，再操作機器。
證據任務
- 對 f(u)＝2u、g(u)＝u＋3，以 2 作輸入，記錄兩種次序的輸入、中間值及最後輸出。
- 以 0 及 −3 重做，再寫 f(g(x)) 及 g(f(x)) 的一般公式，比較兩者差值。
- 選投影的「減 1，再開平方」機器：先用 g(x)＝x−1，再用 f(u)＝√u，測試 x＝0、1、2，記錄哪個中間值不能通過外層機器。
參考說理
在 f(g(x)) 中，先把 x 輸入 g，再把完整輸出輸入 f。一次機器給 f(g(x))＝2x＋6，g(f(x))＝2x＋3，所以本例受次序影響。複合輸入既要在內層定義域內，中間值也要在外層定義域內。投影平方根任務先減 1，所以 √(x−1) 要求 x≥1；紙本例題使用不同常數，先減 2，所以 √(x−2) 要求 x≥2。定義域的檢查原則相同，邊界卻隨內層規則改變。
記錄中間值，計算 f(g(2))。
- 先計 g(2)＝2＋3＝5。
- 再計 f(5)＝2×5＝10，所以 f(g(2))＝10。
回到紙本例題：內層規則改為減 2。求複合規則及實數定義域。
- 完整內層輸出為 x−2，所以 f(g(x))＝√(x−2)。
- 要求 x−2≥0；定義域為 [2,∞)。
遷移與課末檢核
g(x)＝x＋1、f(u)＝1/u，求 f(g(x)) 及定義域；再與 g(f(x)) 比較，指出公式及定義域的差別。
f(u)＝√u、g(x)＝x＋3。求 f(g(−2))，並寫 f(g(x)) 的定義域。
g(−2)＝1，所以 f(g(−2))＝1；複合式為 √(x＋3)，定義域為 [−3,∞)。
- 先求內層輸出，再取平方根。
- 限制中間值 x＋3，而非排除所有負的原輸入。
追問
- 在 f(g(x)) 中，哪部機器先收到原輸入？
- 為何投影平方根任務的邊界是 1，而紙本例題是 2？
預期回應
- 學生可能把 f 與 g 相乘；沿箭頭追蹤兩個階段。
- 學生可能直接把外層限制套在 x；保持中間值框可見。
混淆
- 不要把 f(g(x)) 的內外次序倒轉。
- 同一輸入得不同輸出的一個反例已可否定相同；一般代數比較才說明本例所有輸入的規則。
板書
- x→g(x)→f(g(x))。
- 完整內層輸出成為外層的一個輸入。
- 複合定義域：原輸入允許，而且中間輸出也允許。