學習・解釋・訂正

函數的概念及其表示

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修第一册(A版).pdf · 3.1 · PDF 67 / 印刷頁 60

先重溫：二次函數、方程與不等式

專題 01

函數的概念及其表示

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握函數的概念及其表示。

學完之後，你能解釋

解讀及運用函數的概念及其表示，並檢查定義域。
連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

函數

每個合適輸入恰有一個輸出。

定義域和值域

定義域由題目指定或受式子限制；值域是實際取得的輸出集合。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「函數的概念及其表示」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

二次圖像：水平平移 0，垂直平移 0；自變量改成 x−0。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求指定輸入的函數值。

f(x)=x^2-2x+1;\quad f(3)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。

提示 2

每個 x 均代入完整輸入。

完整解答

代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。
計算或化簡此關係式。
$f(3)=(3)^2-2(3)+1=4$
求函數值與解 f(x)=0 不同。

所求值為 4。

檢查與易錯點：求函數值與解 f(x)=0 不同。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

求實數定義域。

f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{x-4}

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。

提示 2

合併根式及分母限制。

完整解答

代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。
計算或化簡此關係式。
$x-2\ge0,\quad x-4\ne0$
被開方數可為零，分母不可為零。

[2,∞) 中除去 4。

檢查與易錯點：被開方數可為零，分母不可為零。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

由平移輸入的恆等式求 f(x)。

f(x+2)=2x+3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。

提示 2

以新變數表示完整輸入。

完整解答

代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。
計算或化簡此關係式。
$t=x+2;\quad f(t)=2(t-2)+3$
更改虛變數名稱不改變函數。

f(x)=2x−1。

檢查與易錯點：更改虛變數名稱不改變函數。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求指定輸入的函數值。

f(x)=x^2-3x+1;\quad f(4)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。

提示 2

每個 x 均代入完整輸入。

完整解答

代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。
計算或化簡此關係式。
$f(4)=(4)^2-3(4)+1=5$
求函數值與解 f(x)=0 不同。

所求值為 5。

檢查與易錯點：求函數值與解 f(x)=0 不同。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求實數定義域。

f(x)=\frac{\sqrt{x-3}}{x-5}

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。

提示 2

合併根式及分母限制。

完整解答

代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。
計算或化簡此關係式。
$x-3\ge0,\quad x-5\ne0$
被開方數可為零，分母不可為零。

[3,∞) 中除去 5。

檢查與易錯點：被開方數可為零，分母不可為零。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求指定閉區間的最大值。

f(x)=(x-3)^2;\quad x\in[2,6]

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。

提示 2

比較頂點及兩端點。

完整解答

代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。
計算或化簡此關係式。
$f(2)=1,\quad f(3)=0,\quad f(6)=9$
本題距頂點最遠的位置決定最大值。

所求值為 9。

檢查與易錯點：本題距頂點最遠的位置決定最大值。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

求分段函數在分界點的值。

f(x)=\begin{cases}x+1&x<3\\2x&x\ge3\end{cases};\quad f(3)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。

提示 2

看哪一段包含等號。

完整解答

代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。
計算或化簡此關係式。
$f(3)=2(3)=6$
分界點只屬於第二段。

所求值為 6。

檢查與易錯點：分界點只屬於第二段。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

在各自自然實數定義域下，兩者是否同一函數？說明。

f(x)=\frac{x^2-1}{x-1};\quad g(x)=x+1

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。

提示 2

化簡不會恢復原本禁止的輸入。

完整解答

代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。
計算或化簡此關係式。
$f(x)=x+1\quad(x\ne1)$
函數除了對應法則，亦包括定義域。

不是：f 排除 x=1，g 則沒有。

檢查與易錯點：函數除了對應法則，亦包括定義域。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

此關係能否把 y 定義為 x 的函數？說明。

\{(1,3),(1,4),(2,5)\}

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。

提示 2

檢查每個輸出的唯一性。

完整解答

代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。
計算或化簡此關係式。
$1\mapsto3,\quad1\mapsto4$
不同輸入可共用輸出，但同一輸入不可有兩個輸出。

不能：輸入 1 有兩個不同輸出。

檢查與易錯點：不同輸入可共用輸出，但同一輸入不可有兩個輸出。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

由平移輸入的恆等式求 f(x)。

f(x+3)=2x+3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。

提示 2

以新變數表示完整輸入。

完整解答

代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。
計算或化簡此關係式。
$t=x+3;\quad f(t)=2(t-3)+3$
更改虛變數名稱不改變函數。

f(x)=2x−3。

檢查與易錯點：更改虛變數名稱不改變函數。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

求指定輸入的函數值。

f(x)=x^2-4x+1;\quad f(5)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。

提示 2

每個 x 均代入完整輸入。

完整解答

代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。
計算或化簡此關係式。
$f(5)=(5)^2-4(5)+1=6$
求函數值與解 f(x)=0 不同。

所求值為 6。

檢查與易錯點：求函數值與解 f(x)=0 不同。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

求實數定義域。

f(x)=\frac{\sqrt{x-4}}{x-6}

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。

提示 2

合併根式及分母限制。

完整解答

代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。
計算或化簡此關係式。
$x-4\ge0,\quad x-6\ne0$
被開方數可為零，分母不可為零。

[4,∞) 中除去 6。

檢查與易錯點：被開方數可為零，分母不可為零。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

求指定閉區間的最大值。

f(x)=(x-4)^2;\quad x\in[3,7]

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。

提示 2

比較頂點及兩端點。

完整解答

代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。
計算或化簡此關係式。
$f(3)=1,\quad f(4)=0,\quad f(7)=9$
本題距頂點最遠的位置決定最大值。

所求值為 9。

檢查與易錯點：本題距頂點最遠的位置決定最大值。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。

選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

提問順序

使用「函數的概念及其表示」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
改變一項假設後，原結論還成立嗎？

板書重點

解讀及運用函數的概念及其表示，並檢查定義域。
函數：每個合適輸入恰有一個輸出。
定義域和值域：定義域由題目指定或受式子限制；值域是實際取得的輸出集合。
總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

預期想法

預期理由：每個合適輸入恰有一個輸出。
預期理由：定義域由題目指定或受式子限制；值域是實際取得的輸出集合。
預期修正：部分輸入下公式相同，不表示函數相同。

評核清單

1：辨識已知條件及所求。
1：選取合適定義、表示或方法。
1：推理連貫且正確。
1：檢驗條件並解釋結果。