符號與根
根把數線分成符號固定的區間。
學習・解釋・訂正
二次函數、方程與不等式
先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。
高一必修 第一册(A版).pdf · 2.3 · PDF 57 / 印刷頁 50
先重溫：基本不等式
專題 01
二次函數、方程與不等式
透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握二次函數、方程與不等式。
學完之後，你能解釋
- 在明確條件下運用二次函數、方程與不等式。
- 連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
- 能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。
頂點與判別式
配方求極值，以判別式判斷根數。
預測 → 操作 → 解釋 → 遷移
先留下預測，再探索關係。
課節思考：計算前，預測「二次函數、方程與不等式」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。
模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。
二次圖像：水平平移 0，垂直平移 0；自變量改成 x−0。
解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。
遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。
試一試，把思路寫下來。
每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。
解二次不等式。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
找根或頂點，再檢查符號與端點。
提示 2
開口向上的二次式在兩根間非正。
完整解答
找根或頂點，再檢查符號與端點。
計算或化簡此關係式。
非嚴格比較包括兩根。
x∈[2,5]。
檢查與易錯點：非嚴格比較包括兩根。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
數出整數解個數。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
找根或頂點，再檢查符號與端點。
提示 2
排除兩個整數根。
完整解答
找根或頂點，再檢查符號與端點。
計算或化簡此關係式。
嚴格比較排除相等。
所求值為 5。
檢查與易錯點：嚴格比較排除相等。
先思考，待同學準備好再展開提示。
另解 a=0 的情況。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
找根或頂點，再檢查符號與端點。
提示 2
使用二次公式前先代入。
完整解答
找根或頂點，再檢查符號與端點。
計算或化簡此關係式。
本題首項係數零使式子變成一次。
x≥3。
檢查與易錯點：本題首項係數零使式子變成一次。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
解二次不等式。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
找根或頂點，再檢查符號與端點。
提示 2
開口向上的二次式在兩根間非正。
完整解答
找根或頂點，再檢查符號與端點。
計算或化簡此關係式。
非嚴格比較包括兩根。
x∈[3,6]。
檢查與易錯點：非嚴格比較包括兩根。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
數出整數解個數。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
找根或頂點，再檢查符號與端點。
提示 2
排除兩個整數根。
完整解答
找根或頂點，再檢查符號與端點。
計算或化簡此關係式。
嚴格比較排除相等。
所求值為 7。
檢查與易錯點：嚴格比較排除相等。
先思考，待同學準備好再展開提示。
求判別式並解釋符號。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
找根或頂點，再檢查符號與端點。
提示 2
使用 x 的完整係數。
完整解答
找根或頂點，再檢查符號與端點。
計算或化簡此關係式。
判別式為負表示沒有實根。
所求值為 -4。
檢查與易錯點：判別式為負表示沒有實根。
先思考，待同學準備好再展開提示。
解首項係數為負的不等式。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
找根或頂點，再檢查符號與端點。
提示 2
乘 −1 並反向。
完整解答
找根或頂點，再檢查符號與端點。
計算或化簡此關係式。
根外的正負取決於首項係數。
x∈(3,5)。
檢查與易錯點：根外的正負取決於首項係數。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
m 為何值時，式子對所有實數 x 均為正？
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
找根或頂點，再檢查符號與端點。
提示 2
平方為零時取得最小值。
完整解答
找根或頂點，再檢查符號與端點。
計算或化簡此關係式。
恆正要求最小值嚴格大於零。
m>9。
檢查與易錯點：恆正要求最小值嚴格大於零。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
求直線位於拋物線之上或相交時的 x 區間長度。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
找根或頂點，再檢查符號與端點。
提示 2
比較兩圖像的高度差。
完整解答
找根或頂點，再檢查符號與端點。
計算或化簡此關係式。
區間長度不是整數點個數。
所求值為 4。
檢查與易錯點：區間長度不是整數點個數。
先思考，待同學準備好再展開提示。
另解 a=0 的情況。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
找根或頂點，再檢查符號與端點。
提示 2
使用二次公式前先代入。
完整解答
找根或頂點，再檢查符號與端點。
計算或化簡此關係式。
本題首項係數零使式子變成一次。
x≥4。
檢查與易錯點：本題首項係數零使式子變成一次。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
解二次不等式。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
找根或頂點，再檢查符號與端點。
提示 2
開口向上的二次式在兩根間非正。
完整解答
找根或頂點，再檢查符號與端點。
計算或化簡此關係式。
非嚴格比較包括兩根。
x∈[4,7]。
檢查與易錯點：非嚴格比較包括兩根。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
數出整數解個數。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
找根或頂點，再檢查符號與端點。
提示 2
排除兩個整數根。
完整解答
找根或頂點，再檢查符號與端點。
計算或化簡此關係式。
嚴格比較排除相等。
所求值為 9。
檢查與易錯點：嚴格比較排除相等。
先思考，待同學準備好再展開提示。
求判別式並解釋符號。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
找根或頂點，再檢查符號與端點。
提示 2
使用 x 的完整係數。
完整解答
找根或頂點，再檢查符號與端點。
計算或化簡此關係式。
判別式為負表示沒有實根。
所求值為 -4。
檢查與易錯點：判別式為負表示沒有實根。
先思考，待同學準備好再展開提示。
課末檢核與訂正
回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。
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教師備課與評核
提問順序
- 使用「二次函數、方程與不等式」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
- 哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
- 改變一項假設後，原結論還成立嗎？
板書重點
- 在明確條件下運用二次函數、方程與不等式。
- 符號與根：根把數線分成符號固定的區間。
- 頂點與判別式：配方求極值，以判別式判斷根數。
- 總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。
預期想法
- 預期理由：根把數線分成符號固定的區間。
- 預期理由：配方求極值，以判別式判斷根數。
- 預期修正：另行處理 a=0。
評核清單
- 1：辨識已知條件及所求。
- 1：選取合適定義、表示或方法。
- 1：推理連貫且正確。
- 1：檢驗條件並解釋結果。