Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

基本不等式

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修 第一册(A版).pdf · 2.2 · PDF 51 / 印刷頁 44

先重溫：等式性質與不等式性質

專題 01

基本不等式

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握基本不等式。

學完之後，你能解釋

  • 在明確條件下運用基本不等式。
  • 連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
  • 能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

算術幾何平均

非負數的算術平均不小於幾何平均。

(a+b)/2≥ab(a+b)/2\ge\sqrt{ab}

等號

兩項須相等，且符合定義域。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「基本不等式」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

兩者相差 2ab=4；恰在 ab=0 時相等。(a+b)² = 9a²+b² = 5

兩者相差 2ab=4；恰在 ab=0 時相等。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

x>0，求最小值。

x+4xx+\frac{4}x
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。
提示 2
兩正項的乘積固定。
完整解答

  1. 檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。

  2. 計算或化簡此關係式。

    x+4x≥24=4;x=2x+\frac{4}x\ge2\sqrt{4}=4;\quad x=2

  3. 兩項相等給出合適等號情況。

所求值為 4。

檢查與易錯點：兩項相等給出合適等號情況。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

正數 a、b 的和為 4，求乘積最大值。

  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。
提示 2
固定算術平均。
完整解答

  1. 檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ab≤((a+b)/2)2=4;a=b=2ab\le((a+b)/2)^2=4;\quad a=b=2

  3. 相等的一對數符合指定總和。

所求值為 4。

檢查與易錯點：相等的一對數符合指定總和。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

兩正數乘積如下，求其和的最小值。

ab=9ab=9
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。
提示 2
乘積固定時，基本不等式給出和的下界。
完整解答

  1. 檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。

  2. 計算或化簡此關係式。

    a+b≥2ab=6;a=b=3a+b\ge2\sqrt{ab}=6;\quad a=b=3

  3. 給出等號的一對數以證明可取得。

所求值為 6。

檢查與易錯點：給出等號的一對數以證明可取得。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

x>0，求最小值。

x+9xx+\frac{9}x
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。
提示 2
兩正項的乘積固定。
完整解答

  1. 檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。

  2. 計算或化簡此關係式。

    x+9x≥29=6;x=3x+\frac{9}x\ge2\sqrt{9}=6;\quad x=3

  3. 兩項相等給出合適等號情況。

所求值為 6。

檢查與易錯點：兩項相等給出合適等號情況。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

正數 a、b 的和為 6，求乘積最大值。

  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。
提示 2
固定算術平均。
完整解答

  1. 檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ab≤((a+b)/2)2=9;a=b=3ab\le((a+b)/2)^2=9;\quad a=b=3

  3. 相等的一對數符合指定總和。

所求值為 9。

檢查與易錯點：相等的一對數符合指定總和。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

長方形周長 12，求最大面積。

  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。
提示 2
把周長轉成正邊長的固定和。
完整解答

  1. 檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。

  2. 計算或化簡此關係式。

    x+y=6;xy≤9x+y=6;\quad xy\le9

  3. 正方形取得最大值。

所求值為 9。

檢查與易錯點：正方形取得最大值。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

在 x>0 求式子的最小值。

2x+18x2x+\frac{18}x
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。
提示 2
計算乘積時包含係數二。
完整解答

  1. 檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。

  2. 計算或化簡此關係式。

    2x+18x≥236=12;x=32x+\frac{18}x\ge2\sqrt{36}=12;\quad x=3

  3. 等號比較完整兩項，不只是 x 及 1/x。

所求值為 12。

檢查與易錯點：等號比較完整兩項，不只是 x 及 1/x。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

函數在此定義域能否取得最小值？

x+9x,x>3x+\frac{9}x,\quad x>3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。
提示 2
等號點被排除。
完整解答

  1. 檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。

  2. 計算或化簡此關係式。

    x+9x−6=(x−3)2x>0x+\frac{9}x-6=\frac{(x-3)^2}{x}>0

  3. 計算或化簡此關係式。

    x→3+⇒x+9x→6x\to3^{+}\Rightarrow x+\frac{9}x\to6

  4. 下確界不一定是最小值。

不能；下確界為 6，可逼近但不能取得。

檢查與易錯點：下確界不一定是最小值。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

證明非負 a、b 的基本不等式。

a+b≥2aba+b\ge2\sqrt{ab}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。
提示 2
由不可能為負的平方出發。
完整解答

  1. 檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。

  2. 計算或化簡此關係式。

    (a−b)2=a+b−2ab≥0(\sqrt a-\sqrt b)^2=a+b-2\sqrt{ab}\ge0

  3. 實數平方根要求非負假設。

等號當且僅當 a=b。

檢查與易錯點：實數平方根要求非負假設。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

兩正數乘積如下，求其和的最小值。

ab=16ab=16
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。
提示 2
乘積固定時，基本不等式給出和的下界。
完整解答

  1. 檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。

  2. 計算或化簡此關係式。

    a+b≥2ab=8;a=b=4a+b\ge2\sqrt{ab}=8;\quad a=b=4

  3. 給出等號的一對數以證明可取得。

所求值為 8。

檢查與易錯點：給出等號的一對數以證明可取得。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

x>0，求最小值。

x+16xx+\frac{16}x
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。
提示 2
兩正項的乘積固定。
完整解答

  1. 檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。

  2. 計算或化簡此關係式。

    x+16x≥216=8;x=4x+\frac{16}x\ge2\sqrt{16}=8;\quad x=4

  3. 兩項相等給出合適等號情況。

所求值為 8。

檢查與易錯點：兩項相等給出合適等號情況。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

正數 a、b 的和為 8，求乘積最大值。

  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。
提示 2
固定算術平均。
完整解答

  1. 檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ab≤((a+b)/2)2=16;a=b=4ab\le((a+b)/2)^2=16;\quad a=b=4

  3. 相等的一對數符合指定總和。

所求值為 16。

檢查與易錯點：相等的一對數符合指定總和。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

長方形周長 16，求最大面積。

  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。
提示 2
把周長轉成正邊長的固定和。
完整解答

  1. 檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。

  2. 計算或化簡此關係式。

    x+y=8;xy≤16x+y=8;\quad xy\le16

  3. 正方形取得最大值。

所求值為 16。

檢查與易錯點：正方形取得最大值。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 使用「基本不等式」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
    • 哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
    • 改變一項假設後，原結論還成立嗎？

    板書重點

    • 在明確條件下運用基本不等式。
    • 算術幾何平均：非負數的算術平均不小於幾何平均。
      (a+b)/2≥ab(a+b)/2\ge\sqrt{ab}
    • 等號：兩項須相等，且符合定義域。
    • 總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

    預期想法

    • 預期理由：非負數的算術平均不小於幾何平均。
    • 預期理由：兩項須相等，且符合定義域。
    • 預期修正：下界可能不能取得。

    評核清單

    • 1：辨識已知條件及所求。
    • 1：選取合適定義、表示或方法。
    • 1：推理連貫且正確。
    • 1：檢驗條件並解釋結果。

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    教材與來源說明 ↗