次序
加同一數保持次序；乘負數則反向。
學習・解釋・訂正
等式性質與不等式性質
先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。
高一必修 第一册(A版).pdf · 2.1 · PDF 44 / 印刷頁 37
先重溫：全稱量詞與存在量詞
專題 01
等式性質與不等式性質
透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握等式性質與不等式性質。
學完之後，你能解釋
- 在明確條件下運用等式性質與不等式性質。
- 連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
- 能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。
合法變形
檢查除數、符號與邊界情況。
預測 → 操作 → 解釋 → 遷移
先留下預測，再探索關係。
課節思考：計算前，預測「等式性質與不等式性質」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。
模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。
兩者相差 2ab=4；恰在 ab=0 時相等。
解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。
遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。
試一試，把思路寫下來。
每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。
求解並說明符號方向。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
變形不等式前，追蹤符號及運算是否合法。
提示 2
除以負數。
完整解答
變形不等式前，追蹤符號及運算是否合法。
計算或化簡此關係式。
負乘數倒轉次序。
x<-3。
檢查與易錯點：負乘數倒轉次序。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
若 0<a<b，比較兩數的倒數。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
變形不等式前，追蹤符號及運算是否合法。
提示 2
通分至已知為正的分母。
完整解答
變形不等式前，追蹤符號及運算是否合法。
計算或化簡此關係式。
正數假設保證符號判斷有效。
1/a>1/b。
檢查與易錯點：正數假設保證符號判斷有效。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
解釋 a 的符號如何影響把 x<b 乘以 a。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
變形不等式前，追蹤符號及運算是否合法。
提示 2
分解所比較兩邊的差。
完整解答
變形不等式前，追蹤符號及運算是否合法。
計算或化簡此關係式。
零的情況與兩種嚴格次序均不同。
a>0 時 ax<ab；a<0 時 ax>ab；a=0 時兩者相等。
檢查與易錯點：零的情況與兩種嚴格次序均不同。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
求解並說明符號方向。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
變形不等式前，追蹤符號及運算是否合法。
提示 2
除以負數。
完整解答
變形不等式前，追蹤符號及運算是否合法。
計算或化簡此關係式。
負乘數倒轉次序。
x<-4。
檢查與易錯點：負乘數倒轉次序。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
已知 −2<x<5，求 −3x 的範圍。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
每部分均乘同一負數。
提示 2
兩個不等號均反向。
完整解答
每部分均乘同一負數。
計算或化簡此關係式。
把最終連鎖式重排成由小至大。
−15<−3x<6。
檢查與易錯點：把最終連鎖式重排成由小至大。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
求嚴格大於所有可能 a+b 的最小整數。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
變形不等式前，追蹤符號及運算是否合法。
提示 2
把上界相加。
完整解答
變形不等式前，追蹤符號及運算是否合法。
計算或化簡此關係式。
和可任意逼近此界，因此更小整數不成立。
所求值為 8。
檢查與易錯點：和可任意逼近此界，因此更小整數不成立。
先思考，待同學準備好再展開提示。
給出反例，否定平方總能保持大小次序。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
變形不等式前，追蹤符號及運算是否合法。
提示 2
比較絕對值。
完整解答
變形不等式前，追蹤符號及運算是否合法。
計算或化簡此關係式。
平方只在非負輸入上遞增。
其平方滿足 16>9。
檢查與易錯點：平方只在非負輸入上遞增。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
轉成雙重不等式。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
變形不等式前，追蹤符號及運算是否合法。
提示 2
距 3 的距離小於三。
完整解答
變形不等式前，追蹤符號及運算是否合法。
計算或化簡此關係式。
兩端點均不包括。
0<x<6。
檢查與易錯點：兩端點均不包括。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
a<b 及 c<b 能否保證 a<c？說明。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
變形不等式前，追蹤符號及運算是否合法。
提示 2
選 a 大於 c，但仍小於 b。
完整解答
變形不等式前，追蹤符號及運算是否合法。
計算或化簡此關係式。
傳遞性需要連鎖次序，不是共用上界。
不能；兩個小於 b 的數可以任何次序排列。
檢查與易錯點：傳遞性需要連鎖次序，不是共用上界。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
由 a<b 及 c<d，可否推出 a−c<b−d？給出反例。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
被減去的部分會反轉比較。
提示 2
測試 c、d 相差較大的情況。
完整解答
被減去的部分會反轉比較。
計算或化簡此關係式。
同向不等式可相加，不能任意相減。
不能；取 a=0、b=1、c=0、d=3。
檢查與易錯點：同向不等式可相加，不能任意相減。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
求解並說明符號方向。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
變形不等式前，追蹤符號及運算是否合法。
提示 2
除以負數。
完整解答
變形不等式前，追蹤符號及運算是否合法。
計算或化簡此關係式。
負乘數倒轉次序。
x<-5。
檢查與易錯點：負乘數倒轉次序。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
a<0<b，比較 1/a 與 1/b。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用單調性法則前先比較符號。
提示 2
非零數的倒數保留符號。
完整解答
使用單調性法則前先比較符號。
計算或化簡此關係式。
倒數函數不能跨越被排除的零而套用單一遞減區間。
1/a<1/b。
檢查與易錯點：倒數函數不能跨越被排除的零而套用單一遞減區間。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
求嚴格大於所有可能 a+b 的最小整數。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
變形不等式前，追蹤符號及運算是否合法。
提示 2
把上界相加。
完整解答
變形不等式前，追蹤符號及運算是否合法。
計算或化簡此關係式。
和可任意逼近此界，因此更小整數不成立。
所求值為 10。
檢查與易錯點：和可任意逼近此界，因此更小整數不成立。
先思考，待同學準備好再展開提示。
課末檢核與訂正
回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。
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教師備課與評核
提問順序
- 使用「等式性質與不等式性質」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
- 哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
- 改變一項假設後，原結論還成立嗎？
板書重點
- 在明確條件下運用等式性質與不等式性質。
- 次序：加同一數保持次序；乘負數則反向。
- 合法變形：檢查除數、符號與邊界情況。
- 總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。
預期想法
- 預期理由：加同一數保持次序；乘負數則反向。
- 預期理由：檢查除數、符號與邊界情況。
- 預期修正：不要除以可能為零的式子。
評核清單
- 1：辨識已知條件及所求。
- 1：選取合適定義、表示或方法。
- 1：推理連貫且正確。
- 1：檢驗條件並解釋結果。