Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

全稱量詞與存在量詞

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修 第一册(A版).pdf · 1.5 · PDF 33 / 印刷頁 26

先重溫：充分條件與必要條件

專題 01

全稱量詞與存在量詞

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握全稱量詞與存在量詞。

學完之後，你能解釋

  • 在明確條件下運用全稱量詞與存在量詞。
  • 連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
  • 能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

範圍

全稱指數域每個成員；存在指至少一個見證。

否定

更換量詞、否定述詞，並保留數域。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「全稱量詞與存在量詞」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

全集 U={1,…,7}；A={1,2,3}；B={3,4,5}。結果={3}；3屬於結果集合。A: 1,23B: 4,56,7

全集 U={1,…,7}；A={1,2,3}；B={3,4,5}。結果={3}；3屬於結果集合。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

否定此命題。

∀x∈R, x2>2\forall x\in\mathbb R,\ x^2>2
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
保留數域，區分所有值與一個見證。
提示 2
把 ∀ 換成 ∃，並否定 >。
完整解答

  1. 保留數域，區分所有值與一個見證。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ∃x∈R, x2≤2\exists x\in\mathbb R,\ x^2\le2

  3. 否定包含相等情況。

存在實數 x 使 x²≤2。

檢查與易錯點：否定包含相等情況。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

否定此存在命題。

∃x∈Z, x2=5\exists x\in\mathbb Z,\ x^2=5
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
保留數域，區分所有值與一個見證。
提示 2
每個候選值均須不符合。
完整解答

  1. 保留數域，區分所有值與一個見證。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ∀x∈Z, x2≠5\forall x\in\mathbb Z,\ x^2\ne5

  3. 保持整數數域不變。

每個整數 x 均有 x²≠5。

檢查與易錯點：保持整數數域不變。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

判斷每個數域有沒有見證。

x2=2;x∈Z or x∈Rx^2=2;\quad x\in\mathbb Z\text{ or }x\in\mathbb R
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
保留數域，區分所有值與一個見證。
提示 2
比較包圍二的相鄰整數平方。
完整解答

  1. 保留數域，區分所有值與一個見證。

  2. 計算或化簡此關係式。

    12<2<22;(±2)2=21^2<2<2^2;\quad (\pm\sqrt2)^2=2

  3. 存在命題的真假取決於數域。

沒有整數見證；實數見證是 ±√2。

檢查與易錯點：存在命題的真假取決於數域。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

否定此命題。

∀x∈R, x2>3\forall x\in\mathbb R,\ x^2>3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
保留數域，區分所有值與一個見證。
提示 2
把 ∀ 換成 ∃，並否定 >。
完整解答

  1. 保留數域，區分所有值與一個見證。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ∃x∈R, x2≤3\exists x\in\mathbb R,\ x^2\le3

  3. 否定包含相等情況。

存在實數 x 使 x²≤3。

檢查與易錯點：否定包含相等情況。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

否定此存在命題。

∃x∈Z, x2=10\exists x\in\mathbb Z,\ x^2=10
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
保留數域，區分所有值與一個見證。
提示 2
每個候選值均須不符合。
完整解答

  1. 保留數域，區分所有值與一個見證。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ∀x∈Z, x2≠10\forall x\in\mathbb Z,\ x^2\ne10

  3. 保持整數數域不變。

每個整數 x 均有 x²≠10。

檢查與易錯點：保持整數數域不變。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

證明量化命題。

∀x∈R, x2+1>0\forall x\in\mathbb R,\ x^2+1>0
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
保留數域，區分所有值與一個見證。
提示 2
找對所有實數平方均成立的界限。
完整解答

  1. 保留數域，區分所有值與一個見證。

  2. 計算或化簡此關係式。

    x2≥0⇒x2+1≥1>0x^2\ge0\Rightarrow x^2+1\ge1>0

  3. 只試幾個數不足以作全稱證明。

對所有實數 x 均成立。

檢查與易錯點：只試幾個數不足以作全稱證明。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

給出一個整數反例。

∀n∈Z, n2>n\forall n\in\mathbb Z,\ n^2>n
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
保留數域，區分所有值與一個見證。
提示 2
相等會使嚴格不等式失敗。
完整解答

  1. 保留數域，區分所有值與一個見證。

  2. 計算或化簡此關係式。

    02=0≯00^2=0\not>0

  3. 一個失敗的見證已足夠。

n=0 是反例。

檢查與易錯點：一個失敗的見證已足夠。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

數出可能的整數見證。

−3<x<3-3<x<3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
保留數域，區分所有值與一個見證。
提示 2
排除兩端點。
完整解答

  1. 保留數域，區分所有值與一個見證。

  2. 計算或化簡此關係式。

    (2)−(−2)+1=5(2)-(-2)+1=5

  3. 存在只需一個見證；計數則須找所有合適見證。

所求值為 5。

檢查與易錯點：存在只需一個見證；計數則須找所有合適見證。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

解釋交換量詞次序的影響。

∀x∃y:y>x;∃y∀x:y>x\forall x\exists y:y>x;\quad \exists y\forall x:y>x
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
保留數域，區分所有值與一個見證。
提示 2
y 可否依賴 x，還是要同一 y 適用於所有 x？
完整解答

  1. 保留數域，區分所有值與一個見證。

  2. 計算或化簡此關係式。

    y=x+1>xy=x+1>x

  3. 計算或化簡此關係式。

    x=y+1⇒y<xx=y+1\Rightarrow y<x

  4. 不存在最大的實數。

在實數範圍，前者真，後者假。

檢查與易錯點：不存在最大的實數。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

分別判斷 x²=3 在整數與實數中有沒有見證。

x2=3x^2=3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
分清兩個數域。
提示 2
比較包圍三的相鄰整數平方。
完整解答

  1. 分清兩個數域。

  2. 計算或化簡此關係式。

    12<3<22;(±3)2=31^2<3<2^2;\quad(\pm\sqrt3)^2=3

  3. 同一述詞可因數域改變而有不同真值。

沒有整數見證；實數見證為 ±√3。

檢查與易錯點：同一述詞可因數域改變而有不同真值。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

否定此命題。

∀x∈R, x2>4\forall x\in\mathbb R,\ x^2>4
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
保留數域，區分所有值與一個見證。
提示 2
把 ∀ 換成 ∃，並否定 >。
完整解答

  1. 保留數域，區分所有值與一個見證。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ∃x∈R, x2≤4\exists x\in\mathbb R,\ x^2\le4

  3. 否定包含相等情況。

存在實數 x 使 x²≤4。

檢查與易錯點：否定包含相等情況。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

否定此存在命題。

∃x∈Z, x2=17\exists x\in\mathbb Z,\ x^2=17
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
保留數域，區分所有值與一個見證。
提示 2
每個候選值均須不符合。
完整解答

  1. 保留數域，區分所有值與一個見證。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ∀x∈Z, x2≠17\forall x\in\mathbb Z,\ x^2\ne17

  3. 保持整數數域不變。

每個整數 x 均有 x²≠17。

檢查與易錯點：保持整數數域不變。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

分情況證明此全稱命題。

∀x∈R, ∣x∣≥x\forall x\in\mathbb R,\ |x|\ge x
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用絕對值定義。
提示 2
分開非負與負輸入。
完整解答

  1. 使用絕對值定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    x≥0⇒∣x∣=xx\ge0\Rightarrow |x|=x

  3. 計算或化簡此關係式。

    x<0⇒∣x∣=−x>xx<0\Rightarrow |x|=-x>x

  4. 兩種情況涵蓋全部實數範圍。

對所有實數 x 成立。

檢查與易錯點：兩種情況涵蓋全部實數範圍。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

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    教師備課與評核

    提問順序

    • 使用「全稱量詞與存在量詞」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
    • 哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
    • 改變一項假設後，原結論還成立嗎？

    板書重點

    • 在明確條件下運用全稱量詞與存在量詞。
    • 範圍：全稱指數域每個成員；存在指至少一個見證。
    • 否定：更換量詞、否定述詞，並保留數域。
    • 總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

    預期想法

    • 預期理由：全稱指數域每個成員；存在指至少一個見證。
    • 預期理由：更換量詞、否定述詞，並保留數域。
    • 預期修正：只靠例子不能證明全稱命題。

    評核清單

    • 1：辨識已知條件及所求。
    • 1：選取合適定義、表示或方法。
    • 1：推理連貫且正確。
    • 1：檢驗條件並解釋結果。

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