學習・解釋・訂正

函數的基本性質

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修第一册(A版).pdf · 3.2 · PDF 83 / 印刷頁 76

先重溫：函數的概念及其表示

專題 01

函數的基本性質

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握函數的基本性質。

學完之後，你能解釋

解讀及運用函數的基本性質，並檢查定義域。
連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

單調性

比較定義域內任意一對有序輸入的輸出。

奇偶性

檢查 f(−x)=±f(x) 前，定義域須對稱。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「函數的基本性質」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

二次圖像：水平平移 0，垂直平移 0；自變量改成 x−0。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

說明在實數上的單調性並證明。

f(x)=-2x+2

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用性質的定義，並保持定義域清楚。

提示 2

斜率為負。

完整解答

使用性質的定義，並保持定義域清楚。
計算或化簡此關係式。
$x_1<x_2\Rightarrow f(x_2)-f(x_1)=-2(x_2-x_1)<0$
定義比較按大小排列的輸入所對應輸出。

嚴格遞減。

檢查與易錯點：定義比較按大小排列的輸入所對應輸出。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

判斷在實數上的奇偶性。

f(x)=x^3+2x

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用性質的定義，並保持定義域清楚。

提示 2

把每個 x 改為 −x。

完整解答

使用性質的定義，並保持定義域清楚。
計算或化簡此關係式。
$f(-x)=-x^3-2x=-f(x)$
定義域關於零對稱。

奇函數。

檢查與易錯點：定義域關於零對稱。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

函數在所列定義域是偶函數嗎？說明。

f(x)=x^2;\quad x\in[0,2]

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用性質的定義，並保持定義域清楚。

提示 2

奇偶性要求 x 與 −x 均在定義域。

完整解答

使用性質的定義，並保持定義域清楚。
計算或化簡此關係式。
$1\in[0,2],\quad -1\notin[0,2]$
單靠代數式不能決定奇偶性。

不是：定義域並不關於零對稱。

檢查與易錯點：單靠代數式不能決定奇偶性。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

說明在實數上的單調性並證明。

f(x)=-3x+2

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用性質的定義，並保持定義域清楚。

提示 2

斜率為負。

完整解答

使用性質的定義，並保持定義域清楚。
計算或化簡此關係式。
$x_1<x_2\Rightarrow f(x_2)-f(x_1)=-3(x_2-x_1)<0$
定義比較按大小排列的輸入所對應輸出。

嚴格遞減。

檢查與易錯點：定義比較按大小排列的輸入所對應輸出。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

判斷在實數上的奇偶性。

f(x)=x^3+3x

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用性質的定義，並保持定義域清楚。

提示 2

把每個 x 改為 −x。

完整解答

使用性質的定義，並保持定義域清楚。
計算或化簡此關係式。
$f(-x)=-x^3-3x=-f(x)$
定義域關於零對稱。

奇函數。

檢查與易錯點：定義域關於零對稱。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

偶函數有以下函數值，求反射位置的值。

f(3)=8;\quad f(-3)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用性質的定義，並保持定義域清楚。

提示 2

使用 f(−x)=f(x)。

完整解答

使用性質的定義，並保持定義域清楚。
計算或化簡此關係式。
$f(-3)=f(3)=8$
偶對稱把圖像沿縱軸反射。

所求值為 8。

檢查與易錯點：偶對稱把圖像沿縱軸反射。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

求指定區間的最小值。

f(x)=(x-3)^2+2;\quad x\in[4,6]

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用性質的定義，並保持定義域清楚。

提示 2

頂點不在此區間內。

完整解答

使用性質的定義，並保持定義域清楚。
計算或化簡此關係式。
$x-3\in[1,3];\quad f(x)\ge1^2+2=3$
不可把無限制的頂點值當成有限範圍的最小值。

所求值為 3。

檢查與易錯點：不可把無限制的頂點值當成有限範圍的最小值。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

加上一個常數如何影響單調性？請證明。

g(x)=f(x)+3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用性質的定義，並保持定義域清楚。

提示 2

以相減比較兩個輸出。

完整解答

使用性質的定義，並保持定義域清楚。
計算或化簡此關係式。
$g(x_2)-g(x_1)=f(x_2)-f(x_1)$
常數在每個輸出差中均被約去。

保持遞增或遞減性。

檢查與易錯點：常數在每個輸出差中均被約去。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

非零常數函數可以是奇函數嗎？說明。

f(x)=3,\quad x\in\mathbb R

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用性質的定義，並保持定義域清楚。

提示 2

奇性要求 c=−c。

完整解答

使用性質的定義，並保持定義域清楚。
計算或化簡此關係式。
$f(-x)=3=f(x)\ne-f(x)$
對稱定義域上，只有零常數函數同時奇與偶。

不能；它是偶函數而非奇函數。

檢查與易錯點：對稱定義域上，只有零常數函數同時奇與偶。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

f(x)=1/x 在自然定義域是奇函數嗎？說明定義域條件。

f(x)=1/x,\quad x\ne0

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

同時檢查定義域對稱及代數恆等式。

提示 2

奇函數不一定須在零有定義。

完整解答

同時檢查定義域對稱及代數恆等式。
計算或化簡此關係式。
$f(-x)=1/(-x)=-f(x);\quad x\ne0\Rightarrow -x\ne0$
挖去零的實數域仍關於零對稱。

是。

檢查與易錯點：挖去零的實數域仍關於零對稱。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

說明在實數上的單調性並證明。

f(x)=-4x+2

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用性質的定義，並保持定義域清楚。

提示 2

斜率為負。

完整解答

使用性質的定義，並保持定義域清楚。
計算或化簡此關係式。
$x_1<x_2\Rightarrow f(x_2)-f(x_1)=-4(x_2-x_1)<0$
定義比較按大小排列的輸入所對應輸出。

嚴格遞減。

檢查與易錯點：定義比較按大小排列的輸入所對應輸出。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

判斷在實數上的奇偶性。

f(x)=x^3+4x

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用性質的定義，並保持定義域清楚。

提示 2

把每個 x 改為 −x。

完整解答

使用性質的定義，並保持定義域清楚。
計算或化簡此關係式。
$f(-x)=-x^3-4x=-f(x)$
定義域關於零對稱。

奇函數。

檢查與易錯點：定義域關於零對稱。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

偶函數有以下函數值，求反射位置的值。

f(4)=9;\quad f(-4)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用性質的定義，並保持定義域清楚。

提示 2

使用 f(−x)=f(x)。

完整解答

使用性質的定義，並保持定義域清楚。
計算或化簡此關係式。
$f(-4)=f(4)=9$
偶對稱把圖像沿縱軸反射。

所求值為 9。

檢查與易錯點：偶對稱把圖像沿縱軸反射。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。

選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

提問順序

使用「函數的基本性質」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
改變一項假設後，原結論還成立嗎？

板書重點

解讀及運用函數的基本性質，並檢查定義域。
單調性：比較定義域內任意一對有序輸入的輸出。
奇偶性：檢查 f(−x)=±f(x) 前，定義域須對稱。
總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

預期想法

預期理由：比較定義域內任意一對有序輸入的輸出。
預期理由：檢查 f(−x)=±f(x) 前，定義域須對稱。
預期修正：區間外頂點不能給出該區間的最小值。

評核清單

1：辨識已知條件及所求。
1：選取合適定義、表示或方法。
1：推理連貫且正確。
1：檢驗條件並解釋結果。