用對稱理解奇函數與偶函數

公式沒有改變，縮窄定義域會改變奇偶性嗎？

我的預測與理由

在投影模型中，預測 x² 在實數上及在受限定義域 [0,3] 是否偶函數；再預測實數上的零函數是奇、偶、同時奇偶，還是非奇非偶。

證據與觀察

解釋或提出反例

遷移

判斷實數上的 x³＋x、實數上的 x²＋x、[1,3] 上的 x² 的奇偶性；每題先寫定義域檢查，再做代數檢驗。

課末檢核

遷移至另一個受限定義域：f(x)＝x² 在 [0,2] 是偶函數嗎？實數上的 z(x)＝0 是否同時為奇及偶函數？分別說明理由。

5 分鐘預測定義域及零函數情況；12 分鐘比較對稱點；8 分鐘確立恆等式；12 分鐘紙本判斷；3 分鐘課末檢核。

公式沒有改變，縮窄定義域會改變奇偶性嗎？

在投影模型中，預測 x² 在實數上及在受限定義域 [0,3] 是否偶函數；再預測實數上的零函數是奇、偶、同時奇偶，還是非奇非偶。

證據任務

1. 在投影模型選 x² 及對稱實數定義域，記錄 ±1、±2 的成對輸入及輸出，再對任意 x 計 f(−x)。
2. 把投影 x² 模型由實數定義域切換至 [0,3]，測試 x＝1 及反射輸入 −1，記錄切換後哪個被排除。
3. 對 1/x 及零函數，寫定義域對稱檢查及 f(−x) 的等式，並記錄奇函數是否必須在零有定義。

參考說理

奇偶性要求定義域關於零對稱。在這樣的定義域內，每個輸入均有 f(−x)＝f(x) 才是偶函數，圖像關於縱軸對稱；每個輸入均有 f(−x)＝−f(x) 才是奇函數，圖像關於原點對稱。投影模型 x² 在 R 為偶函數，在 [0,3] 卻不是，因為 1 被允許而 −1 沒有。紙本 x²＋1 是 R 上另一個偶函數，須用它本身的恆等式證明。1/x 挖去零的定義域仍對稱，所以可為奇函數而不在零有定義。零函數同時符合兩式。在對稱定義域內，同時奇偶必有 f(x)＝−f(x)，即處處 f(x)＝0。

遷移與課末檢核

判斷實數上的 x³＋x、實數上的 x²＋x、[1,3] 上的 x² 的奇偶性；每題先寫定義域檢查，再做代數檢驗。

遷移至另一個受限定義域：f(x)＝x² 在 [0,2] 是偶函數嗎？實數上的 z(x)＝0 是否同時為奇及偶函數？分別說明理由。

f 不是偶函數，因為定義域不對稱：1 被允許而 −1 沒有。z 同時奇偶，因為定義域對稱，且 z(−x)＝0＝z(x)＝−z(x)。

• 先檢查定義域，不只依賴平方公式。
• 明確驗證零函數的兩個恆等式。