認識五種基本冪函數

指數告訴我們甚麼？還有哪些定義域條件必須檢查？

我的預測與理由

顯示曲線前，先預測五個規則中哪些可輸入 −1 及 0，哪些可得到負輸出。

證據與觀察

解釋或提出反例

遷移

某曲線通過 (1,1)，允許負輸入，不允許零輸入，並在零兩側分別遞減。五個規則中哪個符合？解釋負指數為何不表示所有輸出為負。

課末檢核

寫出 √x 的實數定義域、值域及奇偶性，再說明 1/x 是否在整個定義域遞減。

5 分鐘預測允許輸入；12 分鐘比較五條曲線；8 分鐘整理性質表；12 分鐘紙本辨認；3 分鐘課末檢核。

指數告訴我們甚麼？還有哪些定義域條件必須檢查？

顯示曲線前，先預測五個規則中哪些可輸入 −1 及 0，哪些可得到負輸出。

證據任務

1. 對 x、x²、x³、√x、1/x，完成輸入 −1、0、1、2 的比較表，明確標記沒有定義的格。
2. 記錄各函數的實數定義域及值域，再配對曲線的對稱及升降區間。
3. 按本學習單係數為一的 y＝xᵃ 形式，比較 x³ 與 2x²，清楚說明所用約定，不把它當作所有教材通用的術語。

參考說理

本學習單把「冪函數」約定為固定指數、係數為一的 y＝xᵃ。因此 x³ 符合，而 2x² 是其倍數，並非本課所指形式；其他教材可能採用較廣義用法。五種實數函數中：x、x³ 的定義域及值域皆為 R，遞增且為奇函數；x² 定義域為 R、值域為 [0,∞)，為偶函數，在 (−∞,0] 遞減、[0,∞) 遞增；√x 的定義域及值域皆為 [0,∞)，遞增且非奇非偶；1/x 的定義域及值域皆為除零外的實數，為奇函數，在零的兩側分別遞減。

遷移與課末檢核

某曲線通過 (1,1)，允許負輸入，不允許零輸入，並在零兩側分別遞減。五個規則中哪個符合？解釋負指數為何不表示所有輸出為負。

寫出 √x 的實數定義域、值域及奇偶性，再說明 1/x 是否在整個定義域遞減。

√x 的定義域及值域皆為 [0,∞)；定義域不對稱，所以非奇非偶。1/x 分別在 (−∞,0) 及 (0,∞) 遞減，不能說在整個定義域遞減。

• 平方根定義域和值域包括零，並檢查定義域對稱性。
• 把倒數單調性寫在兩個分開的區間。