放置大小比較
紙本起始模型拖動手柄，或先選取物件，再點按目的地。
先講出理由，再檢查。
數值記錄
| x | x² | x³ | x² − x³ |
|---|---|---|---|
| 0.5 | 0.25 | 0.125 | 0.125 |
點選及鍵盤操作
按 Tab 選取物件；方向鍵移動手柄，Enter 選取卡片或放到目的地。
選取物件
選取目的地
本次課堂作品
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第三章・函數
運用冪函數性質比較大小
同指數比較須選有效單調區間；平方與立方的比較則以差式因式分解證明。
第三章・函數
運用冪函數性質比較大小
班別 ______ 姓名 __________________ 日期 __________
正指數愈大，結果一定愈大嗎？
我的預測與理由
先預測 x＝0.8、1、2 時 x² 與 x³ 的大小，判斷能否用同一說法概括所有正輸入。
證據與觀察
記錄 x＝0.5、0.8、1、2 時 x² 與 x³，按 0<x<1、x＝1、x>1 整理觀察。
把 x²−x³ 因式分解，記錄三個範圍內 x² 及 1−x 的符號。
不用小數近似，比較 √2.1 與 √2.4、1/2.1 與 1/2.4，每次寫明所用函數及區間。
解釋或提出反例
遷移
不直接計算次方，比較 (3/4)² 與 (3/4)³，再比較 (5/4)² 與 (5/4)³，解釋為何結論倒轉。
課末檢核
對 0<x<1，比較 x² 與 x³，並給出適用於所有這類 x 的理由；再說明 x＝1 及 x>1 的情況。
第三章・函數 · 教師參考
運用冪函數性質比較大小
3.3.2(第12課時) · 12_運用冪函數性質比較大小.docx
5 分鐘預測平方立方大小；12 分鐘收集並分類證據；8 分鐘證明符號規律；12 分鐘紙本比較；3 分鐘課末檢核。
正指數愈大，結果一定愈大嗎？
先預測 x＝0.8、1、2 時 x² 與 x³ 的大小，判斷能否用同一說法概括所有正輸入。
證據任務
- 記錄 x＝0.5、0.8、1、2 時 x² 與 x³，按 0<x<1、x＝1、x>1 整理觀察。
- 把 x²−x³ 因式分解，記錄三個範圍內 x² 及 1−x 的符號。
- 不用小數近似，比較 √2.1 與 √2.4、1/2.1 與 1/2.4，每次寫明所用函數及區間。
參考說理
同一遞增函數在有效區間內保持輸入次序，遞減函數則倒轉次序。因此 √2.1<√2.4，而在正數區間內 1/2.1>1/2.4。比較不同指數須另作論證：x²−x³＝x²(1−x)。對正 x，0<x<1 時為正，x＝1 時為零，x>1 時為負，故分別有 x²>x³、x²＝x³、x²<x³。數值試驗用來找規律；符號論證才證明整個所述範圍。
不用計算近似值，比較兩個平方根。
- √x 在 [0,∞) 遞增，兩個輸入都在這個區間內。
- 因為 2.1<2.4，所以 √2.1<√2.4。
用乘法意義比較 0.8 的平方與立方。
- 0.8³＝0.8²×0.8，而且 0.8² 為正。
- 正數乘以 0.8 會變小，所以 0.8²>0.8³。
遷移與課末檢核
不直接計算次方，比較 (3/4)² 與 (3/4)³，再比較 (5/4)² 與 (5/4)³，解釋為何結論倒轉。
對 0<x<1，比較 x² 與 x³，並給出適用於所有這類 x 的理由；再說明 x＝1 及 x>1 的情況。
x²−x³＝x²(1−x)>0，所以 x²>x³。x＝1 時相等；x>1 時差為負，所以 x²<x³。
- 利用 x 的條件作一般符號論證。
- 在大於 1 時正確倒轉結論，並包括 1 的相等情況。
追問
- 你比較的是同一函數的兩個輸入，還是一個輸入放進兩個函數？
- x 經過 1 時，哪個因子改變符號？
預期回應
- 學生可能說「立方一定較大」；用小於 1 的正輸入作反例。
- 學生可能只說單調性而不寫區間；比較前須說明區間。
混淆
- 不可把零兩側的倒數輸入當作在同一遞減區間比較。
- 本課三個範圍的平方立方結論以 x>0 為前提，不可不加說明便延伸至所有實數。
板書
- 同一函數：先查區間，再用單調性。
- 不同次冪：比較差 x²(1−x)。
- 0<x<1：x²>x³；x＝1：相等；x>1：x²<x³。