排列優惠卡
紙本起始模型拖動手柄，或先選取物件，再點按目的地。
先講出理由，再檢查。
數值記錄
| 次序 | 中間金額 | 最後價格 |
|---|---|---|
| 學生次序 | — | — |
| 相反次序 | — | — |
點選及鍵盤操作
按 Tab 選取物件；方向鍵移動手柄，Enter 選取卡片或放到目的地。
選取物件
選取目的地
本次課堂作品
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第三章・函數
複合規則與簡單換元
把完整式子代入規則，以可逆換元還原函數，並比較兩種優惠的先後次序。
第三章・函數
複合規則與簡單換元
班別 ______ 姓名 __________________ 日期 __________
「先九折再減 20 元」與「先減 20 元再九折」一樣嗎？
我的預測與理由
原價 x≥100 時，先猜想哪種優惠次序較便宜。門檻只按原價檢查一次；之後兩個運算均可使用中間金額。
證據與觀察
設 D(u)＝0.9u、C(u)＝u−20。以原價 100、200，分別記錄 C(D(x)) 及 D(C(x)) 的中間與最後金額。
推導兩個公式，再相減，記錄在這個模型下差額是否隨原價改變。
已知每個實數 x 都有 f(2x＋1)＝6x＋5，設 t＝2x＋1，記錄 x 如何以 t 表示，再改寫完整恆等式。
解釋或提出反例
遷移
已知每個實數 x 都有 h(3x−2)＝6x＋1，求 h(x)。再把優惠減款改為 30 元，比較兩種次序，並用代數說明差額。
課末檢核
原價 100 元，按只檢查原價的規則符合兩種優惠。比較先九折再減 20 元與先減 20 元再九折，並說明一般差額。
第三章・函數 · 教師參考
複合規則與簡單換元
3.4.1(第13課時) · 13_複合規則與簡單換元.docx
5 分鐘預測優惠次序；12 分鐘追蹤價格及推導差額；8 分鐘連結換元；12 分鐘紙本複合與換元；3 分鐘課末檢核。
「先九折再減 20 元」與「先減 20 元再九折」一樣嗎？
原價 x≥100 時，先猜想哪種優惠次序較便宜。門檻只按原價檢查一次；之後兩個運算均可使用中間金額。
證據任務
- 設 D(u)＝0.9u、C(u)＝u−20。以原價 100、200，分別記錄 C(D(x)) 及 D(C(x)) 的中間與最後金額。
- 推導兩個公式，再相減，記錄在這個模型下差額是否隨原價改變。
- 已知每個實數 x 都有 f(2x＋1)＝6x＋5，設 t＝2x＋1，記錄 x 如何以 t 表示，再改寫完整恆等式。
參考說理
複合時要把完整輸入代入外層。本例 C(D(x))＝0.9x−20，D(C(x))＝0.9x−18，所以對每個原價 x≥100，先九折再減款都少付 2 元。資格條件只按原價檢查，本活動不在中間金額重驗門檻。由 f(2x＋1) 還原 f 時，使用可逆換元 t＝2x＋1，得到 x＝(t−1)/2；t 遍及所有實數，所以 f(t)＝3t＋2 確立完整實數規則。若原恆等式只在受限 x 範圍給出，換元後的 t 範圍亦須相應限制。
求複合式，展開時把完整輸入平方。
- 把 g(x) 作完整輸入：f(g(x))＝(2x−1)²＋1。
- 展開得 4x²−4x＋2。
從對所有實數 x 成立的恆等式還原 f(x)。
- 設 t＝2x＋1，則 x＝(t−1)/2，而且 t 遍及 R。
- f(t)＝6(t−1)/2＋5＝3t＋2；更改輸入變數名稱，得 f(x)＝3x＋2。
遷移與課末檢核
已知每個實數 x 都有 h(3x−2)＝6x＋1，求 h(x)。再把優惠減款改為 30 元，比較兩種次序，並用代數說明差額。
原價 100 元，按只檢查原價的規則符合兩種優惠。比較先九折再減 20 元與先減 20 元再九折，並說明一般差額。
先折後減：90−20＝70；先減後折：80×0.9＝72。一般式為 0.9x−20 及 0.9x−18，所以第一種少付 2 元。
- 記錄中間金額，並按題設只檢查原價資格。
- 用一般公式確立固定差額，不只由單一原價推測。
追問
- 在本模型中，優惠門檻按原價檢查，還是每一步都重驗？
- t＝2x＋1 時，t 可實際取得哪些值？
預期回應
- 學生可能只把 2x 平方；展開前保持 (2x−1) 的完整括號。
- 學生可能直接寫 f(x)＝6x＋5；先配對完整輸入，再更改變數名稱。
混淆
- 不可暗中在中間金額加入第二次資格檢查。
- 還原規則只在已給內層輸入對應的像集上被確定。
板書
- 複合：代入完整內層式。
- 換元：t＝2x＋1↔x＝(t−1)/2。
- 本例資格：原價 x≥100，只檢查一次；次序影響最後金額。