Kenneth Cheng數學・模型・思考
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教師參考：包含答案、條件與論證。

05 函數概念與性質 · g10-05-01 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

修補一條對應箭頭

兩個輸入可否共用輸出？哪一個輸入破壞函數條件？

先預測：改圖前，為每個輸入標示它有 0、1 或 2 個不同輸出。

對照計算觀察
多對一A = {1, 2, 3}；B = {5, 7}；實際值域 = {5, 7}。
輸入 3 漏配A = {1, 2, 3}；B = {5, 7}；實際值域 = {5}。
輸入 2 有兩個輸出A = {1, 2, 3}；B = {5, 7}；實際值域 = {5, 7}。
固定輸出 8A = {1, 2, 3}；B = {6, 8, 10}；實際值域 = {8}。

結論：函數給每個允許輸入恰好一個輸出。多對一是允許的；漏配或同一輸入有兩個不同輸出均違反條件。

條件：輸入集合為 {1,2,3}；逐個數其不同輸出，不是數到達某輸出的箭頭。

論證：逐一檢查三個輸入的定義條件，這已窮盡此有限對應；不能據此證明所有可能的對應。

追問：請一人修補漏配，再請另一人解釋為何可共用輸出 5。

迷思：不同輸入必須有不同輸出。

延伸：令每個輸入都對應 8；解釋輸出集合有元素未使用為何不影響條件。

離堂檢核：三個輸入都對應 8，是函數嗎？說明理由。

是；每個輸入恰有一個輸出。

先備：能閱讀函數的輸入、輸出及所述定義域；先在紙上寫預測。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

05 函數概念與性質 · g10-05-02 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

公式相同就是同一函數？

x＝0.5 能否區分有限定義域與區間 [−2,2]？

先預測：把 0.5 卡片放進兩個定義域前，先猜它是否允許。

對照計算觀察
有限定義域測 0.5同一固定法則 x² + 1。第一個值域：{1, 2, 5}；第二個值域：[1, 5]。
區間定義域測 0.5同一固定法則 x² + 1。第一個值域：{1, 2, 5}；第二個值域：[1, 5]。
紙本第一個定義域測 −1同一固定法則 x²。第一個值域：{0, 1}；第二個值域：{0, 1}。
紙本第二個定義域測 −1同一固定法則 x²。第一個值域：{0, 1}；第二個值域：{0, 1}。

結論：公式算術與函數是否有定義是兩個問題。x²＋1 在 0.5 算得 1.25，但只有定義域允許 0.5 時才是函數值。

條件：須比較對應法則與完整定義域；值域只包括實際取得的輸出。

論證：找出只屬於其中一個定義域的輸入，即可反駁函數相等；有限定義域的值域可逐一代入求出。

追問：要求分兩句：「公式算得……」及「此輸入允許／拒絕，因為……」。

迷思：相同解析式在任何定義域都表示同一函數。

延伸：兩個有限 x² 定義域的值域均為 {0,1}，為何仍可表示不同函數？

離堂檢核：求 x²＋1 在 {−2,−1,0,1,2} 上的值域。

{1,2,5}；重複輸出只列一次。

先備：能閱讀函數的輸入、輸出及所述定義域；先在紙上寫預測。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

05 函數概念與性質 · g10-05-03 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

哪個端點屬於集合？

為何 √(x−3) 允許 3，但 1/(x−2) 不允許 2？

先預測：切換公式前，先把邊界畫成空心或實心點。

對照計算觀察
包括的端點 0已塗集合：[0, 4)。無窮大表示方向，必須用圓括號。
排除的端點 4已塗集合：[0, 4)。無窮大表示方向，必須用圓括號。
倒數在 2已塗集合：(−∞, 2) ∪ (2, ∞)。無窮大表示方向，必須用圓括號。
平方根在 3已塗集合：[3, ∞)。無窮大表示方向，必須用圓括號。

結論：實數平方根容許被開方數為零，故 x ≥ 3；分母不能為零，故 x ≠ 2。[0,4) 包括 0 而不包括 4。

條件：使用實數輸入；無窮大表示方向，不是可包括的端點；整數集合與實數區間不同。

論證：把限制翻成 x−3 ≥ 0 及 x−2 ≠ 0；這些代數條件涵蓋所有輸入，圖中例子只是說明。

追問：先問「這裡哪一個運算無法進行？」再選區間括號。

迷思：定義域的邊界必須全部排除。

延伸：切換整數輸入，指出一個位於兩端之間卻被排除的非整數。

離堂檢核：寫出 1/√(x−3) 的定義域。

(3,∞)；根式同時是分母，被開方數必須大於零。

先備：能閱讀函數的輸入、輸出及所述定義域；先在紙上寫預測。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

05 函數概念與性質 · g10-05-04 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

化簡後仍要保留每項限制

約去 x−1 後，原本缺少的輸入 x＝1 會回來嗎？

先預測：先猜原式與化簡式在 x＝1 是否都有函數值 2。

對照計算觀察
兩項限制取交集已疊加遮罩：2/2。目前交集接受 x = 0。
根式分母在 1已疊加遮罩：2/2。目前交集拒絕 x = 1。
在空缺 x＝1 約分已疊加遮罩：1/1。目前交集拒絕 x = 1。 化簡式：x + 1，保留原限制 x ≠ 1。
有限值域學生所選輸出集合：{0, 1, 4}。x = 2；輸出 = —。
區間值域學生所選輸出集合：[0, 4]。x = 2；輸出 = —。

結論：√(x+1)/(x−2) 須同時滿足 x ≥ −1 及 x ≠ 2；(x²−1)/(x−1) 只在 x ≠ 1 時可約成 x＋1，原圖仍有空缺。

條件：定義域由原公式決定；有限值域的元素之間不會自動補滿。

論證：因 x²−1＝(x−1)(x＋1)，除以 x−1 只在 x≠1 時等價。另外 [−2,1] 上的 x² 以 x＝−√y 取得每個 y∈[0,4]。

追問：先讓學生疊上兩個限制遮罩，再比較空缺處的算術值與定義域。

迷思：解析式化簡後，原函數的定義域會自動擴大。

延伸：比較 x² 在 {−2,−1,0,1} 與 [−2,1] 上的值域；為何只有一個是完整區間？

離堂檢核：(1,2) 是否在 (x²−1)/(x−1) 的原圖上？

否；x＝1 令原分母為零。

先備：能閱讀函數的輸入、輸出及所述定義域；先在紙上寫預測。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

05 函數概念與性質 · g10-05-05 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

這些點應該連線嗎？

同一費用公式 y＝2x＋4 表示時數或件數；哪個圖容許 x＝2.5？

先預測：先畫表中五點，再猜連線是否保留原本允許的輸入。

對照計算觀察
連續時數並連線固定定義域：[0, 4]。學生已放置：5/5。連線：開啟。題目已給定直線模型。
整數件數，連線會誤導固定定義域：{0, 1, 2, 3, 4}。學生已放置：5/5。連線：開啟。題目已給定直線模型。
整數件數，保留離散點固定定義域：{0, 1, 2, 3, 4}。學生已放置：5/5。連線：關閉。題目已給定直線模型。

結論：實數區間 [0,4] 的一次模型給線段；{0,1,2,3,4} 給五個離散點。(2.5,9) 只屬於時數模型。

條件：直線關係是已指定的模型假設；有限表格本身不能確立唯一公式。

論證：每個允許的 x 由公式給一點；哪些 x 出現由定義域決定。2x＋4＋x(x−1) 符合那兩點，卻是不同法則。

追問：切換連線前，先問情境中的半件物品是甚麼意思。

迷思：所有數據點都應連線。

延伸：找另一個公式，在 x＝0、1 與 y＝2x＋4 相同，但其他地方不同。

離堂檢核：0 至 4 張整數門票按 2x＋4 收費，圖上有 (2.5,9) 嗎？

沒有；2.5 不屬於門票張數的定義域。

先備：能閱讀函數的輸入、輸出及所述定義域；先在紙上寫預測。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

05 函數概念與性質 · g10-05-06 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

分界漏配還是一個輸入有兩個輸出？

兩段都包括分界點，就一定不符合函數條件嗎？

先預測：在 t＝1，比較兩端開、單端閉及兩端閉時不同輸出的數目。

對照計算觀察
原分界固定總定義域：0 < t ≤ 4。第一段 0 < t ≤ 1；第二段 t > 1，t ≤ 4。輸入 1：1 段適用，1 個不同輸出。
兩端均開固定總定義域：0 < t ≤ 4。第一段 0 < t < 1；第二段 t > 1，t ≤ 4。輸入 1：0 段適用，0 個不同輸出。
兩端均閉，輸出相同固定總定義域：0 < t ≤ 4。第一段 0 < t ≤ 1；第二段 t ≥ 1，t ≤ 4。輸入 1：2 段適用，1 個不同輸出。
重疊處輸出不同固定總定義域：0 < t ≤ 4。第一段 0 < t ≤ 1.5；第二段 t ≥ 1，t ≤ 4。輸入 1.25：2 段適用，2 個不同輸出。

結論：兩端都開會漏去分界；兩端都閉但公式值相同仍可定義函數；重疊處有兩個不同值才違反唯一性。

條件：租借模型的 6 與 6＋4(t−1) 在 t＝1 相同；單點相等不代表整段重疊都可行。

論證：在共同輸入列出不同輸出的集合；函數要求其元素數恰為一。四種構造展示零、一、兩個輸出。

追問：判斷括號前，先讓學生算出分界點的兩個公式值。

迷思：分段條件一旦重疊，即使輸出相同也不是函數。

延伸：以紙本 x＋2 與 x² 在 x＝0 的值，解釋為何這次兩端閉會失敗。

離堂檢核：兩式在 t＝1 都得 6 並同時包括該點，有幾個函數值？

一個不同值：6。

先備：能閱讀函數的輸入、輸出及所述定義域；先在紙上寫預測。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

05 函數概念與性質 · g10-05-07 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

交換兩部函數機器

先乘 2 再加 3，與先加 3 再乘 2 相同嗎？

先預測：送入 2 前，先猜兩個次序的中間值與最後輸出。

對照計算觀察
先乘 2 再加 3輸入 2；次序：f(u) = 2u → g(u) = u + 3。
先加 3 再乘 2輸入 2；次序：g(u) = u + 3 → f(u) = 2u。
根式對在 0輸入 0；次序：g(u) = u − 1 → f(u) = √u。
根式對在 1輸入 1；次序：g(u) = u − 1 → f(u) = √u。

結論：兩次序給 2x＋3 及 2(x＋3)＝2x＋6，相差 3；有平方根時，次序亦可改變允許輸入。

條件：每個中間結果都須屬於下一部機器的定義域；某步未定義時必須停止。

論證：代數給 (2x＋6)−(2x＋3)＝3，對每個實數 x 都成立；根式對的定義域分別為 x≥1、x≥0，故不是同一函數。

追問：由左至右讀流程，要求說出中間值及最後答案。

迷思：同樣兩個運算交換次序必定不變。

延伸：在 x＝0、1 比較 √(x−1) 與 √x−1，說明單個相同例子為何不能證明函數相等。

離堂檢核：x＝0 時，√(x−1) 與 √x−1 哪一個有定義？

只有 √x−1，有值 −1。

先備：能閱讀函數的輸入、輸出及所述定義域；先在紙上寫預測。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

05 函數概念與性質 · g10-05-08 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

最大值真的取得了嗎？

y＝x 在 (0,2) 趨近 2，就有最大值嗎？

先預測：先寫一個候選最大值，再猜把右端點包括後會怎樣。

對照計算觀察
水位：局部與全域定義域 [0, 6]。游標輸入 2：輸出 5。
開區間：構造更大值定義域 (0, 2)。游標輸入 1.75：輸出 1.75。
包括右端點定義域 (0, 2]。游標輸入 1：輸出 1。

結論：在 (0,2)，每個允許的 x 都有較大的允許輸入 (x＋2)/2，故 2 是上界但不是取得的最大值；在 (0,2]，最大值為 2。

條件：最值依賴完整的指定定義域；局部峰谷或有限圖窗不能確立全域最值。

論證：若 0<x<2，則 x<(x＋2)/2<2；這反駁每個候選最大值，而非只反駁已測的幾個。

追問：請一人提出最大值，另一人構造仍被允許且更大的值。

迷思：曲線到達圖窗頂部就有最大值。

延伸：把水位圖限制在 [3,6]，解釋為何較早的峰值不再計算。

離堂檢核：寫出 y＝x 在 (0,2] 的最大值及最小值。

最大值 2；沒有最小值，因任何允許的 x 都有更小的允許值 x/2。

先備：能閱讀函數的輸入、輸出及所述定義域；先在紙上寫預測。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

05 函數概念與性質 · g10-05-09 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

各段遞減等於整個定義域遞減嗎？

1/x 在所有非零實數上都是遞減嗎？

先預測：先猜 f(−1) 與 f(1) 的大小，再與輸入的大小比較。

對照計算觀察
兩輸入為正x₁ = 1，x₂ = 2。f(x₂)−f(x₁) = -0.5。
兩輸入為負x₁ = -2，x₂ = -1。f(x₂)−f(x₁) = -0.5。
跨越零x₁ = -1，x₂ = 1。f(x₂)−f(x₁) = 2。
不允許的輸入零x₁ = 0，x₂ = 2。至少一個輸入不屬於定義域。

結論：1/x 分別在 (−∞,0) 及 (0,∞) 遞減；跨零時 −1<1 但 f(−1)＝−1<f(1)＝1，反駁整個定義域遞減。

條件：嚴格遞減要求每對允許的 x₁<x₂ 都有 f(x₁)>f(x₂)；x＝0 不允許。

論證：同號的 x₁<x₂ 滿足 1/x₁−1/x₂＝(x₂−x₁)/(x₁x₂)>0；跨零時分母為負，符號相反。

追問：保持 x₁<x₂ 可見，追問反例否定了「任意一對」的甚麼意思。

迷思：兩段各自遞減，聯集上就一定遞減。

延伸：對 (0,∞) 上的 2x²＋1，用平方差證明遞增。

離堂檢核：給一對輸入反駁 1/x 在整個定義域遞減。

x₁＝−1、x₂＝1；輸入遞增，輸出亦由 −1 增至 1。

先備：能閱讀函數的輸入、輸出及所述定義域；先在紙上寫預測。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

05 函數概念與性質 · g10-05-10 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

對稱需要配對輸入

x² 的定義域限制為 [0,3] 後，仍是偶函數嗎？

先預測：對 x＝2，先問 −2 是否允許，再比較 f(−x) 與 f(x)。

對照計算觀察
對稱定義域上的平方定義域 ℝ。f(2) = 4；實際 f(-2) = 4。
[0,3] 上的平方定義域 [0, 3]。f(2) = 4；實際 f(-2) = 未定義。
平移直線定義域 ℝ。f(2) = 3；實際 f(-2) = -1。
零函數定義域 ℝ。f(2) = 0；實際 f(-2) = 0。

結論：奇偶性的定義要求定義域關於零對稱；[0,3] 上的 x² 不符合。對稱定義域上，x² 為偶、x³ 為奇，零函數兩者皆是。

條件：檢查 f(−x)＝f(x) 或 f(−x)＝−f(x) 前，先檢查定義域對稱。

論證：在對稱定義域，(−x)²＝x²、(−x)³＝−x³、0＝−0；限制區間包含 2 卻不包含 −2。

追問：要求把定義域檢查與恆等式檢查分成兩步。

迷思：只靠解析式便可判斷奇偶；奇函數與偶函數不能重疊。

延伸：對 x＋1 比較鏡像點與實際函數值，找一個否定偶性的數值。

離堂檢核：在非空對稱定義域，函數可同時為奇及偶嗎？

可以，f(x)＝0；若兩恆等式同時成立，f(x)＝−f(x)，故每個值皆為零。

先備：能閱讀函數的輸入、輸出及所述定義域；先在紙上寫預測。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

05 函數概念與性質 · g10-05-11 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

五種冪函數，不同的禁用輸入

x、x²、x³、√x、1/x 哪些在 −1 及 0 有定義？

先預測：配對圖線與公式前，先在紙上標示輸入允許或拒絕。

對照計算觀察
負與正輸入探針 a＝-1；b＝2。已放置 0/5 張卡；圖窗只顯示各圖像的一部分。
零與負輸入探針 a＝0；b＝-1。已放置 0/5 張卡；圖窗只顯示各圖像的一部分。
正分數輸入探針 a＝0.25；b＝2。已放置 0/5 張卡；圖窗只顯示各圖像的一部分。

結論：實數 √x 要求 x≥0；1/x 要求 x≠0；正整數冪 x、x²、x³ 接受每個實數。

條件：此處只討論指定的五種實函數，並非所有實指數冪都有相同定義域。

論證：逐一使用實數運算條件；整數正冪無須除法或開根，√x 與 1/x 則有相應限制。

追問：用零的案例區分「輸出為零」與「未定義」。

迷思：每種冪函數的定義域都是全部實數。

延伸：解釋為何 x² 與 x³ 在 0、1 相同，在 −1 卻不同。

離堂檢核：列五種函數在 x＝0 的值，必要時寫「未定義」。

依次為 0、0、0、0、未定義。

先備：能閱讀函數的輸入、輸出及所述定義域；先在紙上寫預測。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

05 函數概念與性質 · g10-05-12 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

較大指數何時反而較小？

對正數 x，x³ 一定大於 x² 嗎？

先預測：移動游標前，先猜 x＝0.5、1、2 的大小關係。

對照計算觀察
底數 0.5只使用正輸入。x²＝0.25；x³＝0.125；差＝0.125。
邊界底數 1只使用正輸入。x²＝1；x³＝1；差＝0。
底數 2只使用正輸入。x²＝4；x³＝8；差＝-4。

結論：x³−x²＝x²(x−1)；x>0 時 x²>0，故符號由 x−1 決定：小於 1 時較小，等於 1 時相同，大於 1 時較大。

條件：此比較假設 x>0，並使用同一底數；比較不同底數是另一個問題。

論證：應因式分解差值，而非由三次測試推廣；正數 a<b 時 b²−a²＝(b−a)(b＋a)>0。

追問：把 x＝1 的等號案例放在兩種相反不等式之間比較。

迷思：正數的指數愈大，值一定愈大。

延伸：在相同指數模式，對正數 a<b 以因式分解比較 a² 與 b²。

離堂檢核：不做小數乘法，比較 0.8² 與 0.8³。

0.8²>0.8³；正數再乘 0.8 會減小。

先備：能閱讀函數的輸入、輸出及所述定義域；先在紙上寫預測。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

05 函數概念與性質 · g10-05-13 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

用正確次序還原輸入

若 f(2x＋1)＝6x＋5，怎樣求 f(u)，而非 f((u−1)/2)？

先預測：對 u＝3，把「減 1」及「除 2」按還原 x 的次序排列。

對照計算觀察
先減 1 再除 2u＝3。你排列的卡片表示由完整輸入 2x＋1 求 x 的構想。
錯誤的還原次序u＝3。你排列的卡片表示由完整輸入 2x＋1 求 x 的構想。
九折再減 20原價＝100。符合原價資格。
交換折扣次序原價＝100。符合原價資格。

結論：設 u＝2x＋1，則 x＝(u−1)/2；代入得 f(u)＝6(u−1)/2＋5＝3u＋2。還原輸入不等於求 f 的反函數。

條件：一次輸入規則在實數上可逆；折扣情境的資格按原價判定。

論證：把 x＝(u−1)/2 代回指定恆等式，左邊輸入恰為 u；價錢方面，0.9p−20 與 0.9(p−20) 相差 −2。

追問：每次排列後，把所得 x 再代入 2x＋1，檢查能否回到 u。

迷思：先除 2 再減 1，就是先乘 2 再加 1 的逆步驟。

延伸：原價 100 符合資格時，比較「九折再減 20」與相反次序。

離堂檢核：由 f(2x＋1)＝6x＋5 求 f(−3)。

x＝−2，故 f(−3)＝−12＋5＝−7。

先備：能閱讀函數的輸入、輸出及所述定義域；先在紙上寫預測。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

05 函數概念與性質 · g10-05-14 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

指定冊數最便宜，還是預算內印最多？

決策問題改變時，最佳方案會改變嗎？

先預測：在 n＝10、30、50 先猜較便宜的方案，再用預算 160 猜最多可印冊數。

對照計算觀察
10 冊同價只限整數冊數。預算 200：P 可印 60 冊；Q 可印 70 冊。 P = 50; Q = 50; P − Q = 0
30 冊只限整數冊數。預算 200：P 可印 60 冊；Q 可印 70 冊。 P = 110; Q = 120; P − Q = -10
50 冊只限整數冊數。預算 200：P 可印 60 冊；Q 可印 70 冊。 P = 170; Q = 160; P − Q = 10
預算 160只限整數冊數。預算 160：P 可印 46 冊；Q 可印 50 冊。 P = 50; Q = 50; P − Q = 0
租借的禁用時間零時間在 0 < t ≤ 40 連續變化。 t＝0 不屬於所述定義域；兩個費用均未定義。

結論：P(n)＝20＋3n；Q 在 n≤20 為 5n，n>20 為 2n＋60。整數同價點為 10、40；預算 160 時 P 可印 46 冊、Q 可印 50 冊。

條件：印刷冊數為 1 至 80 的整數；租借時間使用 0<t≤40 及不同費用規則，排除 t＝0。

論證：n≤20 時 P−Q＝20−2n，得 n＝10；n>20 時 P−Q＝n−40，得 n＝40。預算冊數須解整數不等式，不能把實數解四捨五入。

追問：學生放報價標記前，先清楚說出目標及定義域。

迷思：某冊數較便宜的方案在所有問題都最優。

延伸：利用 Q 的兩段規則說明兩個同價點，不只看交點。

離堂檢核：預算 160 時，為何 P 最多 46 冊而非 47 冊？

P(46)＝158≤160，但 P(47)＝161>160。

先備：能閱讀函數的輸入、輸出及所述定義域；先在紙上寫預測。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

05 函數概念與性質 · g10-05-15 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

平方可能產生增根

為何 √(x＋2)＝x 平方後有兩個候選根，卻只有一個解？

先預測：看圖前先猜 x＝−1、2 是否滿足原方程。

對照計算觀察
接受的根 2
測試輸入 x = 2		x＝2：√(x＋2)＝2，x＝2；原方程成立，平方後方程成立。
增根候選 −1
測試輸入 x = -1		x＝-1：√(x＋2)＝1，x＝-1；原方程不成立，平方後方程成立。
超出根式定義域 −3
測試輸入 x = -3		x＝-3 時 x＋2<0，實數根式未定義。
被開方數邊界 −2
測試輸入 x = -2		x＝-2：√(x＋2)＝0，x＝-2；原方程不成立，平方後方程不成立。

結論：平方得 x²＝x＋2，候選根為 −1、2；原根式非負，右邊須有 x≥0，代回拒絕 −1、接受 2。

條件：實數被開方數要求 x≥−2；與主平方根相等另要求 x≥0。

論證：實數 A≥0 時，√A＝B 等價於 A＝B² 且 B≥0。此處 x²−x−2＝(x−2)(x＋1)＝0，再保留 x≥0，只有 x＝2。

追問：平方時先寫單向推出，再問加甚麼條件才能改成等價。

迷思：方程兩邊平方一定完整保留解集。

延伸：比較 y＝√(x＋2) 與 y＝x 的交點，以及 y＝x² 與 y＝x＋2 的交點。

離堂檢核：解 √(x＋2)＝x，指出增根。

解為 x＝2；候選根 −1 是增根，因為 1≠−1。

先備：實數運算及閱讀坐標；先在紙上寫預測。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。