12 多項式公因式與公倍式 · g10-12-01 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案
哪些因式副本是共有的？
最大公因式為何取較低次冪？
先預測：建立 A=(x−1)ᵐ(x+1)ⁿ、B=(x−1)ᵖ(x+1)ᑫ，預測共有因式牌。
| 對照 | 計算觀察 |
|---|---|
| 兩個共有因式 A 中 x−1 次冪 = 2; A 中 x+1 次冪 = 1; B 中 x−1 次冪 = 1; B 中 x+1 次冪 = 3 | 首一結果: GCD = (x−1)^1(x+1)^1 |
| 互質因式 A 中 x−1 次冪 = 2; A 中 x+1 次冪 = 0; B 中 x−1 次冪 = 0; B 中 x+1 次冪 = 2 | 首一結果: GCD = (x−1)^0(x+1)^0 |
| 一式為一 A 中 x−1 次冪 = 0; A 中 x+1 次冪 = 0; B 中 x−1 次冪 = 2; B 中 x+1 次冪 = 1 | 首一結果: GCD = (x−1)^0(x+1)^0 |
結論：公因式不能比任一多項式有更多副本，因此各因式取最低次冪。 畫面上的有限例子用來形成猜想；下方論證說明它在所列條件下為何成立。
條件：兩式首一且非零；零次方提供因式 1。
論證：對每個不同不可約因式，公因式次冪不超過兩原式次冪，因此不超過最小值；所建乘積本身亦整除兩式。
追問：請用因式數量相減來檢查整除。
迷思：「最大」指整除關係，不是代入後哪個數最大。
延伸：說明每個公因式都整除所示最大公因式。
離堂檢核：求 (x−1)²(x+1) 與 (x−1)(x+1)³ 的首一最大公因式。
(x−1)(x+1)。
先備：因式分解與整除 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。