g10-06-06 · 核心課題
交換坐標看反函數圖像
若 (2,4) 在 y＝2ˣ 上，哪一點在 y＝log₂x 上？
1 分鐘・紙上預測
畫反函數配對點前，先把點對 y＝x 反射。
先討論或寫下判斷，毋須輸入文字即可繼續。
(2,4) 反射至 (4,2)。
2 分鐘・解釋與修訂
你嘅猜想需要加上咩條件？
比較至少兩個例子。寫出理由，再一齊核對解釋。
揭示解釋與條件
y＝aˣ 等價於 x＝logₐy；交換坐標使圖像關於 y＝x 對稱；實數輸入及正輸出交換為正輸入及實數輸出。
條件：須 a>0、a≠1；反函數沒有輸入為零的點，即使其輸出可以為負。
數學論證：logₐ(aˣ)＝x，而 u>0 時 a^(logₐu)＝u；這些恆等式證明互逆，不只依靠圖中幾點。
1 分鐘・離堂檢核
把 y＝2ˣ 的 (−2,1/4) 反射至反函數圖像。
作答後核對
(1/4,−2)，在 y＝log₂x 上。
教師提示與延伸
先備：實數運算及閱讀坐標；先在紙上寫預測。
追問：交換前先讓學生把每個坐標標成輸入或輸出。
迷思：反函數圖像是把 y 改成 −y。
挑戰：對 a＝1/2、輸入 −1 重做，解釋為何兩個互逆函數都遞減。
建議時間：預測 1 分鐘、對照 3 分鐘、解釋 2 分鐘、檢核 1 分鐘。觀察可以提出猜想，不能證明所有輸入都成立。