指數函數與對數函數・教師參考・含答案

教師參考：包含答案、條件與論證。

06 指數函數與對數函數 · g10-06-01 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

負指數表示倒數

2⁻³ 是負數還是倒數？

先預測：把 2³、2²、2¹、2⁰ 的序列逐步延伸至指數 −3。

對照	計算觀察
倒數 2⁻³ 底數 a = 2; 整數指數 n = -3	2^-3＝0.125；負指數表示取倒數。
奇數負指數底數 a = -2; 整數指數 n = -3	-2^-3＝-0.125；負指數表示取倒數。
禁用零底數底數 a = 0; 整數指數 n = -1	本課零的非正整數冪未定義。
零指數底數 a = 2; 整數指數 n = 0	2^0＝1；負指數表示取倒數。

結論：指數每減一，便除以非零底數；故 a≠0 時 a⁰＝1、a⁻ⁿ＝1/aⁿ，指數的負號不是把值取負。

條件：此處指數為整數；本課不定義零的負整數冪及 0⁰。

論證：a≠0 時，保持 aⁿa⁻ⁿ＝a⁰＝1，必得 a⁻ⁿ＝1/aⁿ；這是一般代數理由，並非只靠幾項序列。

追問：請學生說出指數每減一時重複了甚麼運算。

迷思：a⁻ⁿ＝−aⁿ。

延伸：令 a＝−2，比較奇數與偶數負指數。

離堂檢核：求 5⁻²。

1/25。

先備：實數運算及閱讀坐標；先在紙上寫預測。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

06 指數函數與對數函數 · g10-06-02 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

分數指數表示根式

16^(3/4) 要求做甚麼運算？

先預測：先開四次根再立方，猜交換兩步是否改變結果。

對照	計算觀察
四次根再立方正底數 a = 16; 整數分子 p = 3; 正整數分母 q = 4	正 4 次根為 2，再取 3 次方得 8。
負分子正底數 a = 16; 整數分子 p = -3; 正整數分母 q = 4	正 4 次根為 2，再取 -3 次方得 0.125。
單位底數正底數 a = 1; 整數分子 p = 3; 正整數分母 q = 4	正 4 次根為 1，再取 3 次方得 1。
拒絕非正底數正底數 a = -1; 整數分子 p = 1; 正整數分母 q = 2	本有理冪模型要求 a>0、整數 p 及正整數 q。

結論：對 a>0，整數 p、正整數 q 滿足 a^(p/q)＝(q 次根 a)ᵖ；故 16^(3/4)＝2³＝8，p 為負時再取倒數。

條件：採 a>0，使所有有理指數有一致的實數定義；本活動拒絕 a≤0，不擴展個別奇次根情況。

論證：正 q 次根是滿足 r^q＝a 的唯一正數 r；定義 a^(p/q)＝rᵖ，約分不改變所得正值。

追問：把分子標「次方」、分母標「開根」，並把正底數條件寫在公式旁。

迷思：a^(p/q)＝aᵖ/q。

延伸：解釋為何 16^(−3/4)＝1/8。

離堂檢核：求 27^(2/3)。

9；27 的三次根是 3。

先備：實數運算及閱讀坐標；先在紙上寫預測。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

06 指數函數與對數函數 · g10-06-03 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

固定增量還是固定倍率？

每輪加 20 等於每輪增長 20% 嗎？

先預測：由 100 開始，看圖前先猜兩輪後兩種模型的量。

對照	計算觀察
兩輪增長倍率 r = 1.2; 輪數 n = 2	第 2 輪：固定增量模型 140，固定倍率模型 144。
三輪衰減倍率 r = 0.8; 輪數 n = 3	第 3 輪：固定增量模型 40，固定倍率模型 51.2。
不變倍率 1 倍率 r = 1; 輪數 n = 3	第 3 輪：固定增量模型 100，固定倍率模型 100。
起始輪數零倍率 r = 1.2; 輪數 n = 0	第 0 輪：固定增量模型 100，固定倍率模型 100。

結論：固定增量給 L(n)＝100＋20n，固定倍率給 E(n)＝100×1.2ⁿ；一輪後相同，兩輪後分別為 140、144。

條件：輪數 n 為非負整數；固定比率是模型假設。一次模型若預測負數，不能當成實際剩餘量。

論證：遞推 E(n＋1)＝rE(n)、E(0)＝100，以歸納得 E(n)＝100rⁿ；L 的差固定為 100(r−1)，指數模型的差則依 n 改變。

追問：除最後數值外，追問兩模型下一步的增量及比率。

迷思：固定百分比等於每輪改變固定數量。

延伸：把倍率設為 0.8，比較反覆減去 20% 與每輪減 20。

離堂檢核：100 每輪保留 80%，三輪後剩多少？

100×0.8³＝51.2。

先備：實數運算及閱讀坐標；先在紙上寫預測。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

06 指數函數與對數函數 · g10-06-04 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

底數越過 1，增減方向改變

a 越過 1 時，aˣ 有甚麼改變？

先預測：先比較底數 0.5、1、2 在 x＝−1、0、1 的輸出。

對照	計算觀察
增長底數 2 底數 a = 2; 輸入 x = 1	a＝2：遞增；a^1＝2。
衰減底數 0.5 底數 a = 0.5; 輸入 x = 1	a＝0.5：遞減；a^1＝0.5。
常數邊界 1 底數 a = 1; 輸入 x = 1	a＝1：常數；a^1＝1。底數 1 是常數邊界，不屬於本課指數函數族。
非正底數底數 a = 0; 輸入 x = 1	實指數模型要求正底數。

結論：a>1 時 aˣ 遞增；0<a<1 時遞減；每個正底數都有 a⁰＝1；a＝1 為常數，本課不把它稱為指數函數。

條件：實指數函數要求 a>0 且 a≠1，定義域為實數，值域為 (0,∞)。

論證：x₂>x₁ 時，a^x₂/a^x₁＝a^(x₂−x₁)；a>1 時比率大於 1，0<a<1 時小於 1。

追問：保持 (0,1) 固定，並比較正、負兩種輸入。

迷思：底數較大時，對每個 x 的輸出都較大。

延伸：比較 x<0 時的 2ˣ 與 3ˣ，解釋為何大小相反。

離堂檢核：(1/2)ˣ 遞增還是遞減？函數值可等於零嗎？

遞減；每個有限實數輸入的輸出均大於零。

先備：實數運算及閱讀坐標；先在紙上寫預測。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

06 指數函數與對數函數 · g10-06-05 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

對數是在問指數

log₂8 問的是哪個數？為何 log₂0 不可能？

先預測：選對數輸入前，先完成 2^?＝8 及 2^?＝1/4。

對照	計算觀察
正對數值對數底數 a = 2; 真數 b = 8	2^3＝8，故 log_2(8)＝3。
負對數值對數底數 a = 2; 真數 b = 0.25	2^-2＝0.25，故 log_2(0.25)＝-2。
零真數對數底數 a = 2; 真數 b = 0	須 a>0、a≠1 及正真數 b。
禁用底數 1 對數底數 a = 1; 真數 b = 8	須 a>0、a≠1 及正真數 b。

結論：logₐb 是滿足 aʸ＝b 的指數 y；故 log₂8＝3、log₂(1/4)＝−2；正底數的指數值不會等於零或負數。

條件：實對數要求 a>0、a≠1 及真數 b>0；對數值本身可以為負。

論證：a>0、a≠1 時 aʸ 為正且嚴格單調，因此每個正輸出恰對應一個指數。

追問：每次把 logₐb 讀成「a 的多少次方等於 b？」

迷思：對數值必須為正；logₐ0＝0。

延伸：解釋底數 1 為何會沒有指數解或有無限多個，而不能定義對數函數。

離堂檢核：求 log₃(1/9)。

−2，因為 3⁻²＝1/9。

先備：實數運算及閱讀坐標；先在紙上寫預測。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

06 指數函數與對數函數 · g10-06-06 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

交換坐標看反函數圖像

若 (2,4) 在 y＝2ˣ 上，哪一點在 y＝log₂x 上？

先預測：畫反函數配對點前，先把點對 y＝x 反射。

對照	計算觀察
點 (2,4) 底數 a = 2; 指數函數輸入 x = 2	(2,4) 反射至 (4,2)。
負指數的點底數 a = 2; 指數函數輸入 x = -2	(-2,0.25) 反射至 (0.25,-2)。
遞減的互逆函數對底數 a = 0.5; 指數函數輸入 x = -1	(-1,2) 反射至 (2,-1)。
底數 1 沒有反函數底數 a = 1; 指數函數輸入 x = 1	可逆指數函數須 a>0 且 a≠1。

結論：y＝aˣ 等價於 x＝logₐy；交換坐標使圖像關於 y＝x 對稱；實數輸入及正輸出交換為正輸入及實數輸出。

條件：須 a>0、a≠1；反函數沒有輸入為零的點，即使其輸出可以為負。

論證：logₐ(aˣ)＝x，而 u>0 時 a^(logₐu)＝u；這些恆等式證明互逆，不只依靠圖中幾點。

追問：交換前先讓學生把每個坐標標成輸入或輸出。

迷思：反函數圖像是把 y 改成 −y。

延伸：對 a＝1/2、輸入 −1 重做，解釋為何兩個互逆函數都遞減。

離堂檢核：把 y＝2ˣ 的 (−2,1/4) 反射至反函數圖像。

(1/4,−2)，在 y＝log₂x 上。

先備：實數運算及閱讀坐標；先在紙上寫預測。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

06 指數函數與對數函數 · g10-06-07 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

乘積化成對數的和

logₐ(u＋v)＝logₐu＋logₐv 嗎？

先預測：底數 2、u＝v＝2 時，先猜乘積與和的對數。

對照	計算觀察
2 與 2 的偶然相同底數 a = 2; 第一真數 u = 2; 第二真數 v = 2	乘積公式：2＝2；相加猜想：2 偶然等於 2；單次相同不是一般法則。
2 與 4 的反例底數 a = 2; 第一真數 u = 2; 第二真數 v = 4	乘積公式：3＝3；相加猜想：2.5849625 不同於 3；單次相同不是一般法則。
正數商底數 a = 2; 第一真數 u = 8; 第二真數 v = 2	乘積公式：4＝4；相加猜想：3.3219281 不同於 4；單次相同不是一般法則。
乘積為正但因數禁用底數 a = 2; 第一真數 u = -2; 第二真數 v = -4	u、v 各自均須為正，即使乘積為正亦然。

結論：u,v>0 時 logₐ(uv)＝logₐu＋logₐv；沒有相同的加法規則。u＝2、v＝4 時右邊為 3，log₂6 卻不同。

條件：須 a>0、a≠1，並逐一要求 u,v>0；兩個負數乘積為正，不代表它們各自有實對數。

論證：設 u＝aʳ、v＝aˢ，則 uv＝a^(r＋s)、u/v＝a^(r−s)、uᵏ＝a^(kr)。合法底數 c 下，logₐu＝log_cu/log_ca。

追問：先用 u＝v＝2 展示偶然相同，再把 v 改為 4，要求找出真正反例。

迷思：乘積的對數公式也適用於相加。

延伸：由乘積法則推出商、冪及換底公式，並說明各自條件。

離堂檢核：求 log₂8−log₂2，並寫成單一對數。

2，即 log₂(8/2)＝log₂4。

先備：實數運算及閱讀坐標；先在紙上寫預測。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

06 指數函數與對數函數 · g10-06-08 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

兩個整數輪次之間的臨界值

100rⁿ 何時首次達到目標？為何把對數四捨五入可能錯？

先預測：r＝1.2 增長至目標 150，先猜首次達標的整數輪次。

對照	計算觀察
增長至 150 倍率 r = 1.2; 正目標量 = 150	首次輪數：3；前一輪 144；第 3 輪為 172.8。
衰減至 50 倍率 r = 0.8; 正目標量 = 50	首次輪數：4；前一輪 51.2；第 4 輪為 40.96。
目標等於起始值倍率 r = 1.2; 正目標量 = 100	首次輪數：0；第 0 輪為 100。
常數無法到達 150 倍率 r = 1; 正目標量 = 150	常數模型無法依指定方向達到此目標。
拒絕非正目標倍率 r = 0.8; 正目標量 = 0	倍率與目標均須為正。

結論：r>1 且目標大於 100 時，實數臨界為 n*＝log(目標/100)/log r，首次整數輪次須取不小於 n* 的最小整數；0<r<1 衰減時改問首次不超過目標。

條件：n 為非負整數且目標為正；增長問不少於，衰減問不多於；r＝1 時只有 n＝0 已達到的目標可行。

論證：單調性把達標條件轉成 n 的不等式；代入候選輪次及其前一輪，才能證明首次達標；對數近似本身不足。

追問：書面解釋須同時列前一輪未達標及本輪達標。

迷思：把對數所得實數解四捨五入即可。

延伸：r＝0.8、目標 50 時，檢查臨界實數兩側的整數輪次。

離堂檢核：100×1.2ⁿ 首次不少於 150 的整數 n 是多少？

3；第 2 輪為 144，第 3 輪為 172.8。

先備：實數運算及閱讀坐標；先在紙上寫預測。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

06 指數函數與對數函數 · g10-06-09 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

遞減底數會反轉不等號

logₐx<logₐb 一定推出 x<b 嗎？

先預測：先解 log₂x<log₂4 及 log_(1/2)x<log_(1/2)4，再代入測試。

對照	計算觀察
遞增對數函數族 = 對數比較; 底數 a = 2; 測試輸入 x = 2; 比較輸入 b = 4	解集：0 < x < 4；目前輸入符合嚴格不等式。
遞減對數，相同輸入函數族 = 對數比較; 底數 a = 0.5; 測試輸入 x = 2; 比較輸入 b = 4	解集：x > 4；目前輸入不符合嚴格不等式。
等號邊界函數族 = 對數比較; 底數 a = 0.5; 測試輸入 x = 4; 比較輸入 b = 4	解集：x > 4；目前輸入不符合嚴格不等式。
對數的禁用零輸入函數族 = 對數比較; 底數 a = 2; 測試輸入 x = 0; 比較輸入 b = 4	須 a>0、a≠1；對數另要求兩個真數為正。
負輸入的遞增指數函數族 = 指數比較; 底數 a = 2; 測試輸入 x = -1; 比較輸入 b = 0	解集：x < 0；目前輸入符合嚴格不等式。
遞減指數，相同輸入函數族 = 指數比較; 底數 a = 0.5; 測試輸入 x = -1; 比較輸入 b = 0	解集：x > 0；目前輸入不符合嚴格不等式。

結論：a>1 時，logₐx<logₐb 給 0<x<b，aˣ<aᵇ 給 x<b；0<a<1 時兩種函數均遞減，兩種比較均改為 x>b，並排除 x＝b。

條件：須 a>0、a≠1；對數的真數 x、b 須為正，指數函數的輸入 x、b 可為任何實數；本課排除底數 1。

論證：由嚴格單調性，遞增對數等價於 x<b，遞減對數等價於 x>b；最後須與正真數限制取交集。

追問：保持測試輸入不變，只把底數由 2 換成 1/2。

迷思：取對數一定保留不等號方向。

延伸：寫出 aˣ<aᵇ 的相應規則，並比較定義域限制。

離堂檢核：解 log_(1/2)x<log_(1/2)4。

x>4。

先備：實數運算及閱讀坐標；先在紙上寫預測。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。