g10-06-07 · 核心課題
乘積化成對數的和
logₐ(u＋v)＝logₐu＋logₐv 嗎？
1 分鐘・紙上預測
底數 2、u＝v＝2 時，先猜乘積與和的對數。
先討論或寫下判斷，毋須輸入文字即可繼續。
乘積公式：2＝2；相加猜想：2 偶然等於 2；單次相同不是一般法則。
2 分鐘・解釋與修訂
你嘅猜想需要加上咩條件？
比較至少兩個例子。寫出理由，再一齊核對解釋。
揭示解釋與條件
u,v>0 時 logₐ(uv)＝logₐu＋logₐv；沒有相同的加法規則。u＝2、v＝4 時右邊為 3，log₂6 卻不同。
條件：須 a>0、a≠1，並逐一要求 u,v>0；兩個負數乘積為正，不代表它們各自有實對數。
數學論證：設 u＝aʳ、v＝aˢ，則 uv＝a^(r＋s)、u/v＝a^(r−s)、uᵏ＝a^(kr)。合法底數 c 下，logₐu＝log_cu/log_ca。
1 分鐘・離堂檢核
求 log₂8−log₂2，並寫成單一對數。
作答後核對
2，即 log₂(8/2)＝log₂4。
教師提示與延伸
先備：實數運算及閱讀坐標；先在紙上寫預測。
追問：先用 u＝v＝2 展示偶然相同，再把 v 改為 4，要求找出真正反例。
迷思：乘積的對數公式也適用於相加。
挑戰：由乘積法則推出商、冪及換底公式，並說明各自條件。
建議時間：預測 1 分鐘、對照 3 分鐘、解釋 2 分鐘、檢核 1 分鐘。觀察可以提出猜想，不能證明所有輸入都成立。