g10-06-09 · 核心課題
遞減底數會反轉不等號
logₐx<logₐb 一定推出 x<b 嗎？
1 分鐘・紙上預測
先解 log₂x<log₂4 及 log_(1/2)x<log_(1/2)4，再代入測試。
先討論或寫下判斷，毋須輸入文字即可繼續。
解集：0 < x < 4；目前輸入符合嚴格不等式。
2 分鐘・解釋與修訂
你嘅猜想需要加上咩條件？
比較至少兩個例子。寫出理由，再一齊核對解釋。
揭示解釋與條件
a>1 時，logₐx<logₐb 給 0<x<b，aˣ<aᵇ 給 x<b；0<a<1 時兩種函數均遞減，兩種比較均改為 x>b，並排除 x＝b。
條件：須 a>0、a≠1；對數的真數 x、b 須為正，指數函數的輸入 x、b 可為任何實數；本課排除底數 1。
數學論證：由嚴格單調性，遞增對數等價於 x<b，遞減對數等價於 x>b；最後須與正真數限制取交集。
1 分鐘・離堂檢核
解 log_(1/2)x<log_(1/2)4。
作答後核對
x>4。
教師提示與延伸
先備：實數運算及閱讀坐標；先在紙上寫預測。
追問：保持測試輸入不變，只把底數由 2 換成 1/2。
迷思：取對數一定保留不等號方向。
挑戰：寫出 aˣ<aᵇ 的相應規則，並比較定義域限制。
建議時間：預測 1 分鐘、對照 3 分鐘、解釋 2 分鐘、檢核 1 分鐘。觀察可以提出猜想，不能證明所有輸入都成立。