g10-12-03 · 附加數學
餘式為何保留最大公因式？
用餘式替換 A，會遺失公因式嗎？
1 分鐘・紙上預測
由 A=(x−r)(x²+u)、B=(x−r)(x+v) 開始，預測最後非零餘式。
先討論或寫下判斷，毋須輸入文字即可繼續。
首一最大公因式: x −1
2 分鐘・解釋與修訂
你嘅猜想需要加上咩條件？
比較至少兩個例子。寫出理由，再一齊核對解釋。
揭示解釋與條件
輾轉相除最後一個非零餘式首一化後是最大公因式；有時 B 已整除 A。 畫面上的有限例子用來形成猜想；下方論證說明它在所列條件下為何成立。
條件：所示多項式非零；每步餘式次數下降；零餘式使演算法結束。
數學論證：若 A=BQ+R，A、B 的公因式整除 R=A−BQ；反之 B、R 的公因式整除 A；反覆應用至終止，保留全部公因式。
1 分鐘・離堂檢核
A、B 為何與 B、A−B 有相同最大公因式？
作答後核對
A、B 的公因式整除 A−B；B、A−B 的公因式整除兩者和 A。
教師提示與延伸
先備：多項式除法與因式
追問：每條箭頭後，請說明公因式集合不變的兩個方向。
迷思：零餘式本身不是最大公因式，應取前一非零除式。
挑戰：找 u、v 的條件，使最大公因式為二次而非一次。
建議時間：預測 1 分鐘、對照 3 分鐘、解釋 2 分鐘、檢核 1 分鐘。觀察可以提出猜想，不能證明所有輸入都成立。