g10-08-05 · 大綱補充
內積的正負告訴我們甚麼？
內積為 0，是否一定形成直角？
1 分鐘・紙上預測
比較兩個非零向量夾角 60°、90°、120°，再把其中一個長度改成 0。
先討論或寫下判斷，毋須輸入文字即可繼續。
內積為正：銳角。
2 分鐘・解釋與修訂
你嘅猜想需要加上咩條件？
比較至少兩個例子。寫出理由，再一齊核對解釋。
揭示解釋與條件
兩非零向量有 a·b＝|a||b|cosθ，銳角、直角、鈍角分別對應正、零、負；若有零向量，夾角未定。
條件：由零內積推論垂直前，必須確認兩向量皆非零。
數學論證：非零向量的模嚴格為正，故內積符號由 cosθ 決定；θ＝90° 時 cosθ＝0。
1 分鐘・離堂檢核
「a·b＝0 推出 a⊥b」要加甚麼條件？
作答後核對
a、b 必須皆為非零向量。
教師提示與延伸
先備：坐標、位移及勾股定理。
追問：哪項假設容許把內積除以兩個模？
迷思：因零向量內積均為零，就說它與所有向量形成直角。
挑戰：給出一對內積為負的非零向量。
建議時間：預測 1 分鐘、對照 3 分鐘、解釋 2 分鐘、檢核 1 分鐘。觀察可以提出猜想，不能證明所有輸入都成立。