平面向量・教師參考・含答案

教師參考：包含答案、條件與論證。

08 平面向量 · g10-08-01 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

移動箭頭，向量有改變嗎？

相等向量的起點必須相同嗎？

先預測：把位移 (3,2) 的箭頭移到另一個起點，先估長度與分量會否改變。

對照	計算觀察
由原點開始起點 x = 0; 起點 y = 0; 位移 x = 3; 位移 y = 2	位置可變，分量及模決定向量。
起點平移起點 x = 2; 起點 y = -1; 位移 x = 3; 位移 y = 2	位置可變，分量及模決定向量。
零向量起點 x = 2; 起點 y = -1; 位移 x = 0; 位移 y = 0	零向量沒有確定方向。

結論：自由向量由大小及方向決定，不由位置決定；平移不改變終點與起點的坐標差。

條件：須使用有向位移；零向量的模為 0，但方向未定。

論證：起終點同加 (t₁,t₂) 後，差仍是 (B＋t)−(A＋t)＝B−A。

追問：哪個減法可消去共同起點位置？

迷思：因起終點不同，就把平移後箭頭當成不同向量。

延伸：解釋把箭頭反轉為何通常改變向量。

離堂檢核：由 (0,0) 到 (2,−1)，以及由 (3,4) 到 (5,3) 的箭頭是否相等？

相等，兩者位移同為 (2,−1)。

先備：坐標、位移及勾股定理。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

08 平面向量 · g10-08-02 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

繞路與最後位移

兩段位移先後次序改變，終點會變嗎？

先預測：a＝(2,1)、b＝(−1,3)，先比較 a＋b 與 b＋a。

對照	計算觀察
相加位移 a₁ = 2; a₂ = 1; b₁ = -1; b₂ = 3; 運算 = a＋b	合位移連接最初起點與最後終點。
相減位移 a₁ = 2; a₂ = 1; b₁ = -1; b₂ = 3; 運算 = a−b	合位移連接最初起點與最後終點。
回到起點 a₁ = 2; a₂ = 1; b₁ = -2; b₂ = -1; 運算 = a＋b	合位移連接最初起點與最後終點。

結論：向量相加把箭頭首尾相接，分量相加；相減則加上相反向量，路程是另一個量。

條件：所有箭頭須使用同一坐標尺度；合向量的模未必等於兩模之和。

論證：由實數加法交換律，(a₁＋b₁,a₂＋b₂)＝(b₁＋a₁,b₂＋a₂)；相減用 a＋(−b)。

追問：哪兩支箭頭記錄路程，哪支只連接最初與最後位置？

迷思：忽略方向，只把長度相加。

延伸：構造路程為正而位移為零的行程。

離堂檢核：求 (2,1)−(−1,3)。

(3,−2)。

先備：坐標、位移及勾股定理。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

08 平面向量 · g10-08-03 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

負倍數反轉方向

乘以 −2 會改變甚麼？

先預測：a＝(2,1)，先比較 a、2a、−2a 及 0a。

對照	計算觀察
放大 a₁ = 2; a₂ = 1; 倍數 λ = 2	模使用 \|λ\|，比較方向須排除零。
反向 a₁ = 2; a₂ = 1; 倍數 λ = -2	模使用 \|λ\|，比較方向須排除零。
零倍數 a₁ = 2; a₂ = 1; 倍數 λ = 0	模使用 \|λ\|，比較方向須排除零。

結論：λa 的模為 |λ||a|；λ＜0 時方向反轉，零乘積則沒有確定方向。

條件：比較方向要求兩向量非零；代數上的數乘關係亦包括零乘積。

論證：分量變成 (λa₁,λa₂)，模為 √[λ²(a₁²＋a₂²)]＝|λ||a|。

追問：變號的是分量，還是長度？

迷思：把負倍數的向量說成有負長度。

延伸：解釋為何不能說 0a 與 a 方向相反。

離堂檢核：求 −3(1,−2) 及其模。

(−3,6)，模為 3√5。

先備：坐標、位移及勾股定理。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

08 平面向量 · g10-08-04 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

兩個方向要互不共線

任意兩個向量都能唯一定位平面每個點嗎？

先預測：固定 e₁＝(1,0)，比較 e₂＝(0,1) 與 e₂＝(1,0) 能否到達 (3,2)。

對照	計算觀察
標準基底 e₁ x = 1; e₁ y = 0; e₂ x = 0; e₂ y = 1; 目標 x = 3; 目標 y = 2	兩個獨立方向給出唯一係數。
斜基底 e₁ x = 1; e₁ y = 1; e₂ x = -1; e₂ y = 1; 目標 x = 3; 目標 y = 2	兩個獨立方向給出唯一係數。
方向相關 e₁ x = 1; e₁ y = 0; e₂ x = 2; e₂ y = 0; 目標 x = 3; 目標 y = 2	相關方向不能形成平面基底。

結論：兩個不共線向量形成基底，係數唯一；共線時只能覆蓋一條線，可能無解或不唯一。

條件：平面基底要求行列式 e₁x e₂y−e₁y e₂x 非零。

論證：兩個分量方程恰在 2×2 行列式非零時有唯一解；行列式為零表示方向相關。

追問：兩箭頭共線時，可以到達哪個範圍？

迷思：以為有兩支箭頭就一定是基底。

延伸：找一個共線上的目標，使係數有多組解。

離堂檢核：(1,0) 與 (2,0) 能作平面基底嗎？

不能；兩者共線，無法到達 (0,1)。

先備：坐標、位移及勾股定理。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

08 平面向量 · g10-08-05 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

內積的正負告訴我們甚麼？

內積為 0，是否一定形成直角？

先預測：比較兩個非零向量夾角 60°、90°、120°，再把其中一個長度改成 0。

對照	計算觀察
銳角 \|a\| = 3; \|b\| = 2; 夾角（度） = 60	內積為正：銳角。
直角 \|a\| = 3; \|b\| = 2; 夾角（度） = 90	兩者非零，零內積可判定垂直。
零向量 \|a\| = 0; \|b\| = 2; 夾角（度） = 90	這裏內積為零，仍不能建立直角。

結論：兩非零向量有 a·b＝|a||b|cosθ，銳角、直角、鈍角分別對應正、零、負；若有零向量，夾角未定。

條件：由零內積推論垂直前，必須確認兩向量皆非零。

論證：非零向量的模嚴格為正，故內積符號由 cosθ 決定；θ＝90° 時 cosθ＝0。

追問：哪項假設容許把內積除以兩個模？

迷思：因零向量內積均為零，就說它與所有向量形成直角。

延伸：給出一對內積為負的非零向量。

離堂檢核：「a·b＝0 推出 a⊥b」要加甚麼條件？

a、b 必須皆為非零向量。

先備：坐標、位移及勾股定理。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

08 平面向量 · g10-08-06 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

平移中點與距離

兩端點一起平移，甚麼改變、甚麼不變？

先預測：把 A＝(−1,0)、B＝(3,2) 同時平移 (2,1)，先估新中點與距離。

對照	計算觀察
原端點 A x = -1; A y = 0; B x = 3; B y = 2; 平移 x = 0; 平移 y = 0	中點平移一次，距離保持不變。
共同平移 A x = -1; A y = 0; B x = 3; B y = 2; 平移 x = 2; 平移 y = 1	中點平移一次，距離保持不變。
兩點重合 A x = 1; A y = 1; B x = 1; B y = 1; 平移 x = 2; 平移 y = 1	中點平移一次，距離保持不變。

結論：共同平移不改變端點之差及距離；中點與端點同樣平移。

條件：距離按兩軸相同單位的歐氏度量計算；兩點重合時距離為 0。

論證：M＝(A＋B)/2，故 M′＝[(A＋t)＋(B＋t)]/2＝M＋t；B′−A′＝B−A，距離因此不變。

追問：兩個端點相加後除以 2，為何只留下加一次平移？

迷思：計算中點時把平移量加兩次。

延伸：把所有坐標加倍，是否屬於平移？

離堂檢核：求 (−1,0)、(3,2) 的中點，再平移 (2,1)。

原中點 (1,1)，平移後為 (3,2)。

先備：坐標、位移及勾股定理。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。