教師參考：包含答案、條件與論證。
14 空間中的平行與垂直 · g10-14-01 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案
空間兩線可以既不相交、又不平行嗎？
先預測：把 AB 與上方平行邊、相鄰邊及不共面的豎邊比較。
| 對照 | 計算觀察 |
|---|---|
| 平行 第二條線 = 上方平行棱 | 旋轉視角，數學關係仍保持不變。 |
| 相交 第二條線 = 相鄰棱 | 旋轉視角，數學關係仍保持不變。 |
| 異面 第二條線 = 不共面棱 | 旋轉視角，數學關係仍保持不變。 |
結論：空間兩線可相交、平行或異面。異面線不平行且不共面，即使投影看似相交。
條件：研究的是方向非零的完整直線，不只圖上可見的線段。
論證：不平行兩線恰在 (q−p)·(d×e)＝0 時共面；混合積非零便不共面，也不可能相交。
追問：旋轉圖像是否只改變畫面交叉，空間關係仍不變？
迷思：從平面圖的交叉推論空間中真的相交。
延伸：指出一對正方體異面棱。
離堂檢核：空間兩線不相交，能證明它們平行嗎？
不能，亦可能異面。
先備：點、直線、平面及向量方向。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。
14 空間中的平行與垂直 · g10-14-02 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案
線面平行判定可以刪去「平面外」嗎？
先預測：保持直線方向平行地面，把高度降至 0，先估線面關係。
| 對照 | 計算觀察 |
|---|---|
| 面外平行 起始高度 h = 1; 豎直方向分量 k = 0 | 方向平行，且所有點都在面外。 |
| 落在面內 起始高度 h = 0; 豎直方向分量 k = 0 | 「平面外」的條件不成立。 |
| 傾斜相交 起始高度 h = 1; 豎直方向分量 k = -1 | 豎直方向非零，因而有一個交點。 |
結論：直線方向與面內某線平行，仍可能整條在該面內；嚴格線面平行要求沒有交點。
條件：使用判定時，直線須在平面外，並平行於面內一條直線。
論證：對平面 z＝0 與直線 (t,0,h＋kt)，k＝0、h≠0 時不相交；k＝h＝0 時包含；k≠0 時在 t＝−h/k 相交。
追問：哪個參數改方向，哪個只使直線上下移動？
迷思：把面內直線也稱為與該平面平行。
延伸：構造一條方向改變後會與平面相交的直線，並說明原判定哪項不再成立。
離堂檢核：直線上的點為 (t,0,1)，它與 z＝0 有甚麼關係？
在平面外且平行，因所有 t 都有 z＝1。
先備：點、直線、平面及向量方向。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。
14 空間中的平行與垂直 · g10-14-03 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案
兩條平行測試線，足以證明兩個平面平行嗎？
先預測：上方平面沿一個水平方向傾斜，先估兩條平行水平線能否測出。
| 對照 | 計算觀察 |
|---|---|
| 兩面平行 平面偏移 h = 1; x 方向斜率 = 0; y 方向斜率 = 0 | 須檢查兩個獨立方向，且兩面不同。 |
| 只測一方向的反例 平面偏移 h = 1; x 方向斜率 = 0; y 方向斜率 = 1 | 兩條平行 x 測試線均通過，兩面仍相交。 |
| 兩面重合 平面偏移 h = 0; x 方向斜率 = 0; y 方向斜率 = 0 | 重合不算嚴格平行。 |
結論：面內兩條相交線各自平行另一平面，才提供兩個獨立方向；兩條平行測試線只有一個方向，可能漏掉傾斜。
條件：兩面須不同；本活動以不相交定義嚴格平行，因此重合不計平行。
論證：對 z＝h＋sx x＋sy y，兩獨立方向 (1,0,sx)、(0,1,sy) 同時水平恰在 sx＝sy＝0；此時 h 非零才使兩面分離。
追問：兩測試線同向時，哪個方向沒有被檢查？
迷思：把「兩條相交線」換成任意兩線。
延伸：用 z＝y＋1 找出兩條水平平行線作反例。
離堂檢核：面面平行判定中的兩條測試線需要相交嗎？
需要，才能提供兩個獨立方向，並須排除兩面重合。
先備：點、直線、平面及向量方向。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。
14 空間中的平行與垂直 · g10-14-04 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案
線面垂直判定為何要求兩條線相交？
先預測：在地面畫兩條沿 x 的平行線，再畫一條沿 y 的線垂直兩者；它垂直地面嗎？
| 對照 | 計算觀察 |
|---|---|
| 法向方向 方向 x = 0; 方向 y = 0; 方向 z = 1; 測試線 = 相交 x、y 方向線 | 獨立測試才迫使兩個水平分量同為零。 |
| 平行測試線反例 方向 x = 0; 方向 y = 1; 方向 z = 0; 測試線 = 兩條平行 x 方向線 | 反例：重複平行方向的測試，漏掉另一面內方向。 |
| 零方向無效 方向 x = 0; 方向 y = 0; 方向 z = 0; 測試線 = 相交 x、y 方向線 | 零向量不能定義直線方向。 |
結論：直線垂直面內兩條相交線，才能垂直面內所有方向；兩平行線只是重複測同一方向。
條件：候選方向須非零，面內兩測試線必須真正相交。
論證：對 z＝0，垂直獨立 x、y 方向迫使 vx＝vy＝0；非零 vz 因而為法向。只重複 x 方向，vy 仍可任意。
追問：第二條線有沒有檢查新的獨立方向？
迷思：以地面兩條平行線作完整垂直判定。
延伸：找非零向量垂直 (1,0,0)，但不垂直 z＝0。
離堂檢核：面內兩條平行線或兩條相交線，哪項才足夠？
兩條相交線，並要求候選方向非零。
先備：點、直線、平面及向量方向。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。
14 空間中的平行與垂直 · g10-14-05 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案
兩個平面互相垂直，其中一面內每條線都垂直另一面嗎？
先預測：把紙折至 90°，先比較摺痕方向與豎起紙面內橫過摺痕的線。
| 對照 | 計算觀察 |
|---|---|
| 直角摺面橫向線 摺角（度） = 90; 紙面內直線方向（度） = 90 | 平面關係不能代替對選定直線的檢查。 |
| 沿摺痕的反例 摺角（度） = 90; 紙面內直線方向（度） = 0 | 兩面垂直，但這條線並非地面的法線。 |
| 45° 摺面 摺角（度） = 45; 紙面內直線方向（度） = 90 | 平面關係不能代替對選定直線的檢查。 |
結論：垂直兩面內有些線垂直另一面，但共同摺痕在兩面之內；其他方向還可傾斜。
條件：使用兩面的夾角；摺角 0° 或 180° 時兩面重合，候選直線仍須另行判定。
論證：以 x 為摺痕，折起方向 v＝(0,cosα,sinα)。α＝90° 時兩面垂直，但摺痕 x 仍水平；只有合適的橫向線才豎直。
追問：共同交線本身立即反駁了哪個說法？
迷思：把平面的關係誤推到面內每一條直線。
延伸：在豎直平面內找一條與地面成 45° 的線。
離堂檢核：兩垂直平面的交線，會垂直其中一面嗎？
不會；它包含在兩面內。
先備：點、直線、平面及向量方向。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。
