集合・教師參考・含答案

教師參考：包含答案、條件與論證。

01 集合 · g10-01-01 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

元素還是子集？

把 3 改寫成 {3}，問題會改變嗎？

先預測：先預測一個數、其單元素集及空集，哪些屬於 A、哪些包含於 A。

對照	計算觀察
集合內的數數 n = 2; 物件 = n; 集合 A = 偶數	物件 2屬於 A；不是集合，不能用子集關係。
它的單元素集數 n = 2; 物件 = {n}; 集合 A = 偶數	物件 {2}不屬於 A；子集判斷為真。
空集數 n = 3; 物件 = 空集; 集合 A = 偶數	物件 ∅不屬於 A；子集判斷為真。

結論：A 的元素是數；數可以是元素，而單元素集是子集恰好當其數屬於 A。畫面上的有限例子用來形成猜想；下方論證說明它在所列條件下為何成立。

條件：全集為 {1,…,8}；A 是選定的數集；子集關係左方必須是集合。

論證：{n}⊆A 的意思是 {n} 的每個元素，即 n，都在 A；空集沒有違反包含要求的元素。

追問：先請學生說出物件類型，再選關係符號。

迷思：屬於與包含是不同關係；空集不是數字零。

延伸：構造元素本身也是集合的集合，再重新判斷屬於關係。

離堂檢核：A={2,4}，比較 2∈A、{2}⊆A、{2}∈A。

真、真、假；A 的元素是數，不是單元素集。

先備：數與大括號 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

01 集合 · g10-01-02 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

包含、相等與空集

子集何時是真子集？

先預測：比較 A={1,…,a}、B={1,…,b}；預測 a=b 或 a=0 的情況。

對照	計算觀察
真包含上界 a = 3; 上界 b = 5	A⊆B：真；A⊊B：真。
集合相等上界 a = 4; 上界 b = 4	A⊆B：真；A⊊B：假。
兩者皆空上界 a = 0; 上界 b = 0	A⊆B：真；A⊊B：假。

結論：A⊆B 容許相等；真子集另外要求 B 有元素不在 A。畫面上的有限例子用來形成猜想；下方論證說明它在所列條件下為何成立。

條件：a、b 是 0 至 8 的整數；上界為零表示空集。

論證：對這些初段整數集，a≤b 即包含；a>b 時 A 的 a 不在 B；相等當且僅當 a=b。

追問：包含不成立時，要求指出一個明確反例元素。

迷思：空集是自身的子集，但不是自身的真子集。

延伸：不用逐一列集，描述所有使 A⊊B 的 (a,b)。

離堂檢核：∅ 是 {1} 的真子集嗎？∅ 是 ∅ 的真子集嗎？

是；不是。第二對集合相等。

先備：集合表示 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

01 集合 · g10-01-03 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

不同運算選出哪些元素？

聯集、交集與差集可以用同一規則嗎？

先預測：選定 A、B，預測哪些數牌留下，再只改運算。

對照	計算觀察
交集 A 的上界 a = 5; B 的下界 b = 3; 運算 = 交集	結果 = {3, 4, 5}
差集 A 的上界 a = 5; B 的下界 b = 3; 運算 = A 差 B	結果 = {1, 2}
A 為空時的補集 A 的上界 a = 0; B 的下界 b = 9; 運算 = A 的補集	結果 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

結論：逐元素的判準分別是「或」、「且」、「在 A 不在 B」或「全集內不在 A」。畫面上的有限例子用來形成猜想；下方論證說明它在所列條件下為何成立。

條件：U={1,…,8}；A={1,…,a}；B={b,…,8}；b=9 表示 B 為空。

論證：每個 x∈U 是否在結果，取決於 x∈A、x∈B 兩個真假值；圖中四區把 U 分割。

追問：請學生找一個能區分兩種運算的元素。

迷思：A−B 未必等於 B−A；補集必須依所定全集。

延伸：用逐元素判斷解釋一條德摩根定律。

離堂檢核：A={1,2}、B={2,3}，求 A−B 及 A∩B。

A−B={1}；A∩B={2}。

先備：元素歸屬 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

01 集合 · g10-01-04 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

這組人數可以同時成立嗎？

有多少人兩項都沒選？

先預測：改變重疊人數前，先預測四個互不重疊類別的人數。

對照	計算觀察
可行調查全班人數 N = 40; 選 A 人數 = 24; 選 B 人數 = 21; 兩者皆選 = 10	可行類別人數合計 40。
沒有人兩者皆不選全班人數 N = 30; 選 A 人數 = 20; 選 B 人數 = 18; 兩者皆選 = 8	可行類別人數合計 30。
矛盾人數全班人數 N = 30; 選 A 人數 = 20; 選 B 人數 = 18; 兩者皆選 = 5	人數矛盾：有類別為負數。

結論：a+b 把交集計了兩次，須減一次；類別出現負數表示資料矛盾。畫面上的有限例子用來形成猜想；下方論證說明它在所列條件下為何成立。

條件：人數為整數；0≤交集≤min(a,b)，且 a+b−交集≤N。

論證：四類是 a−o、b−o、o、N−a−b+o；非負要求給出 max(0,a+b−N)≤o≤min(a,b)。

追問：保留不可能案例，請學生指出違反哪項條件。

迷思：交集人數不能脫離總數及兩類人數任意選取。

延伸：由 N、a、b 推出交集可能的最小及最大值。

離堂檢核：N=30、a=20、b=18，交集可否為 5？

不能；聯集會是 33，超過 30；交集至少 8。

先備：集合運算與整數計數 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。