教師參考：包含答案、條件與論證。
07 三角函數 · g10-07-01 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案
圓半徑加倍，角還是弧長加倍？
先預測：轉過 90°，先估 r＝1 和 r＝2 的弧長。
| 對照 | 計算觀察 |
|---|---|
| 單位半徑 轉角（度） = 90; 半徑 r = 1 | 弧度比值不受半徑影響。 |
| 半徑加倍 轉角（度） = 90; 半徑 r = 2 | 弧度比值不受半徑影響。 |
| 零轉角 轉角（度） = 0; 半徑 r = 2 | 弧度比值不受半徑影響。 |
結論：弧度是弧長與半徑的比 s/r。無論半徑，一周都是 2π；θ 用弧度時 s＝rθ。
條件：半徑須 r＞0；弧長取轉角的大小，零轉角弧長為零。
論證：一周弧長 2πr 除以半徑得 2π；按圓周比例得到 θ＝πd/180，再得 s＝rθ。
追問：半徑與弧長同時加倍，哪個商保持不變？
迷思：仍用角度制的 90 直接代入 s＝rθ。
延伸：解釋為何 s/r 的定義不能用 r＝0。
離堂檢核：半徑 3、圓心角 60° 的弧長是多少？
θ＝π/3，弧長為 π。
先備：角、坐標及基本函數圖像。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。
07 三角函數 · g10-07-02 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案
哪個坐標是正弦？符號如何隨象限改變？
先預測：先比較 30°、150°、210°、330° 的正弦與餘弦。
| 對照 | 計算觀察 |
|---|---|
| 第一象限 角 θ（度） = 30 | 圓點是 (cosθ,sinθ)。 |
| 第二象限 角 θ（度） = 150 | 圓點是 (cosθ,sinθ)。 |
| 坐標軸邊界 角 θ（度） = 270 | 圓點是 (cosθ,sinθ)。 |
結論：單位圓上的點為 (cosθ,sinθ)。轉一周回到同一點；相對的點兩個坐標均反號。
條件：角可為負或超過 360°；這些是有向轉角，半徑仍為 1。
論證：由單位圓定義，x²＋y²＝1 上的點有 x＝cosθ、y＝sinθ；轉 360° 點的位置不變。
追問：正弦為負是否仍是有效的圓上坐標？
迷思：把正弦、餘弦當成所有象限都為正的長度。
延伸：找出 [0°,720°] 內所有回到 (1,0) 的角。
離堂檢核：270° 對應哪個坐標？
(0,−1)，故 cos270°＝0、sin270°＝−1。
先備：角、坐標及基本函數圖像。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。
07 三角函數 · g10-07-03 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案
為何 θ 與 180°−θ 的正弦相同，餘弦卻未必？
先預測：先估關於 y 軸反射時哪個坐標改變。
| 對照 | 計算觀察 |
|---|---|
| 30° 反射 原角 θ（度） = 30 | 反射保持 y，反轉 x。 |
| 鈍角輸入 原角 θ（度） = 120 | 反射保持 y，反轉 x。 |
| 反射不動點 原角 θ（度） = 90 | 反射保持 y，反轉 x。 |
結論：關於 y 軸反射把 (cosθ,sinθ) 變成 (−cosθ,sinθ)，因而得到補角誘導公式。
條件：恆等式對所有實角成立；圖上小數相同只作檢查。
論證：反射後終邊的角為 π−θ，y 不變而 x 反號，故 sin(π−θ)＝sinθ、cos(π−θ)＝−cosθ。
追問：點本身在 y 軸上時，反射會怎樣？
迷思：以為正弦相等便表示角相同。
延伸：用半周旋轉解釋 sin(θ＋180°)＝−sinθ。
離堂檢核：用 cos30° 表示 cos150°。
cos150°＝−cos30°＝−√3/2。
先備：角、坐標及基本函數圖像。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。
07 三角函數 · g10-07-04 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案
sin²θ＋cos²θ＝1 能決定餘弦的正負嗎？
先預測：計算坐標平方前，先比較 30° 與 150°。
| 對照 | 計算觀察 |
|---|---|
| 餘弦為正 角 θ（度） = 30 | 平方只能決定大小，正負仍要看象限。 |
| 餘弦為負 角 θ（度） = 150 | 平方只能決定大小，正負仍要看象限。 |
| 餘弦為零 角 θ（度） = 90 | 平方只能決定大小，正負仍要看象限。 |
結論：平方和等於 1，但由此求餘弦仍要看象限。正負相反的數有相同平方。
條件：恆等式中的兩項必須屬於同一角；平方根符號本身取非負值。
論證：單位圓方程給出 cos²θ＋sin²θ＝1，故 |cosθ|＝√(1−sin²θ)，符號須由 x 坐標決定。
追問：哪項額外資料可分辨兩個可能的餘弦值？
迷思：一律使用 cosθ＝√(1−sin²θ)。
延伸：為何 tanθ＝sinθ/cosθ 要排除某些角？
離堂檢核：已知 sinθ＝1/2，θ 在第二象限，求 cosθ。
cosθ＝−√3/2。
先備：角、坐標及基本函數圖像。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。
07 三角函數 · g10-07-05 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案
圓上的動點如何產生正弦圖像？
先預測：先估轉四分之一、半周及一周後的圖像高度。
| 對照 | 計算觀察 |
|---|---|
| 四分之一周 轉角（度） = 90 | 綠線抄錄圓上 y，金線抄錄 x。 |
| 半周 轉角（度） = 180 | 綠線抄錄圓上 y，金線抄錄 x。 |
| 一周邊界 轉角（度） = 360 | 綠線抄錄圓上 y，金線抄錄 x。 |
結論：圖像的橫坐標記錄角，縱坐標抄錄圓上的 y；餘弦圖則抄錄圓上的 x。
條件：圖像橫軸用弧度，即使控制顯示度數；一周為 2π。
論證：對每個 θ，複製圓上縱坐標便得 (θ,sinθ)；相差 2π 回到同一圓點，因而有周期。
追問：圓點回到原處時，哪個量仍繼續增加？
迷思：把函數圖橫坐標誤當成圓上的 x 坐標。
延伸：找出角度輸入不同、正弦值相同的點。
離堂檢核：完整轉一周對應正弦圖上哪個點？
(2π,0)；高度為 0，但角並非 0。
先備：角、坐標及基本函數圖像。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。
07 三角函數 · g10-07-06 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案
正切圖像能通過 90° 嗎？
先預測：先估 85°、90°、95° 的正切是否有定義及其符號。
| 對照 | 計算觀察 |
|---|---|
| 漸近線之前 角 θ（度） = 85 | 此輸入的商有定義。 |
| 漸近線位置 角 θ（度） = 90 | 分母為零，此處沒有正切值。 |
| 漸近線之後 角 θ（度） = 95 | 此輸入的商有定義。 |
結論：正切為 sinθ/cosθ。在 90°＋180°k 分母為 0，必須排除，並非給它一個很大的值。
條件：θ≠90°＋180°k，k 為整數；基本周期為 180°。
論證：轉 180° 後正弦、餘弦同時反號，商在有定義處不變；cosθ＝0 時不能相除。
追問：表中的很大有限值與「沒有定義」相同嗎？
迷思：把垂直漸近線兩側用直線連起來。
延伸：不分別計算，比較 tan30° 與 tan210°。
離堂檢核：tan270° 有定義嗎？
沒有，因為 cos270°＝0。
先備：角、坐標及基本函數圖像。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。
07 三角函數 · g10-07-07 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案
sin(α＋β)＝sinα＋sinβ 嗎？
先預測：先心算 α＝β＝30°，再揭示結果。
| 對照 | 計算觀察 |
|---|---|
| 兩個 30° α（度） = 30; β（度） = 30 | 乘積恆等式吻合，直接相加的主張一般不成立。 |
| 不同轉角 α（度） = 30; β（度） = 60 | 乘積恆等式吻合，直接相加的主張一般不成立。 |
| 容易誤判的特例 α（度） = 30; β（度） = 0 | 乘積恆等式吻合，直接相加的主張一般不成立。 |
結論：和角公式是 sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，正弦並非可直接相加。
條件：角必須使用同一單位；β＝0 等特殊例子成立，不代表一般成立。
論證：把 (cosα,sinα) 旋轉 β，新 y 坐標是 sinαcosβ＋cosαsinβ，亦即 sin(α＋β)。
追問：哪兩個乘積分別記錄原坐標旋轉後的貢獻？
迷思：把 sin(α＋β) 換成 sinα＋sinβ。
延伸：取 β＝−α，寫出相應的差角關係。
離堂檢核：給出反駁直接相加的精確反例。
α＝β＝30°：sin60°＝√3/2，但 sin30°＋sin30°＝1。
先備：角、坐標及基本函數圖像。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。
07 三角函數 · g10-07-08 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案
sin2θ 與 sinθ 有甚麼關係？
先預測：θ＝45° 時，先比較 sin2θ、2sinθ、2sinθcosθ。
| 對照 | 計算觀察 |
|---|---|
| 45° 角 θ（度） = 45 | 乘積恆等式吻合，直接相加的主張一般不成立。 |
| 30° 角 θ（度） = 30 | 乘積恆等式吻合，直接相加的主張一般不成立。 |
| 零角 角 θ（度） = 0 | 乘積恆等式吻合，直接相加的主張一般不成立。 |
結論：在和角公式取 α＝β＝θ，便得 sin2θ＝2sinθcosθ，以及 cos2θ＝cos²θ−sin²θ。
條件：恆等式對所有實角成立，單獨 2sinθ 通常不同。
論證：把兩個相同角代入已證明的和角公式，便得到一般結果，毋須靠有限次拖動證明。
追問：錯誤公式漏了哪個因子？
迷思：把輸入加倍誤作輸出加倍。
延伸：推導 cos2θ＝1−2sin²θ。
離堂檢核：取 θ＝45°，用倍角公式求 sin90°。
2×(√2/2)×(√2/2)＝1。
先備：角、坐標及基本函數圖像。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。
07 三角函數 · g10-07-09 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案
係數為負，振幅也為負嗎？
先預測：先比較 2sinx、−2sinx、0sinx 的值域。
| 對照 | 計算觀察 |
|---|---|
| 正係數 係數 A = 2 | 灰線是 sinx，請每次只比較一項參數。 |
| 負係數 係數 A = -2 | 灰線是 sinx，請每次只比較一項參數。 |
| 沒有振動 係數 A = 0 | 這是常數，不能套用非恆定波形的基本周期公式。 |
結論：A sinx 的值域為 [−|A|,|A|]。A 為負使波形反轉，振幅為 |A|；A＝0 時成為常數。
條件：非恆定正弦波須 A≠0；A＝0 時值域為 {0}，沒有最小正周期。
論證：由 −1≤sinx≤1 且兩端可取，乘 A 後得相應值域；A＜0 時次序反向。
追問：哪個量記錄反轉，哪個量記錄大小？
迷思：把振幅寫成 −2，或把 A＝0 當成一般振動。
延伸：A＜0 時，比較 A sinx 與 |A|sinx。
離堂檢核：寫出 −3sinx 的振幅及值域。
振幅 3，值域 [−3,3]。
先備：角、坐標及基本函數圖像。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。
07 三角函數 · g10-07-10 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案
為何周期是 2π/|ω|，不是 2πω？
先預測：在同一區間先比較 sinx、sin2x、sin(−2x)。
| 對照 | 計算觀察 |
|---|---|
| 單位頻率 頻率 ω = 1 | 灰線是 sinx，請每次只比較一項參數。 |
| 頻率加倍 頻率 ω = 2 | 灰線是 sinx，請每次只比較一項參數。 |
| 零頻率 頻率 ω = 0 | 這是常數，不能套用非恆定波形的基本周期公式。 |
結論：函數內的角改變 2π 才重複；ω 非零時基本周期為 2π/|ω|，負 ω 則反轉方向。
條件：此基本周期公式要求頻率及正弦係數非零；ω＝0 時為常數。
論證：由 |ω|T＝2π 求最小正 T；正弦本身的最小正角周期為 2π。
追問：x 要改變多少，才能使正弦內的角多轉一周？
迷思：不用絕對值，或直接除以 0。
延伸：解釋常數為何有周期，卻沒有最小正周期。
離堂檢核：求 sin(3x) 的基本周期。
2π/3。
先備：角、坐標及基本函數圖像。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。
07 三角函數 · g10-07-11 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案
加上 φ 是否一律平移 −φ？
先預測：以度為 x 單位，先比較 sin(x＋90°) 與 sin(2x＋90°) 的平移。
| 對照 | 計算觀察 |
|---|---|
| 頻率 1 頻率 ω = 1; 相位 φ（度） = 90 | 位移為 −φ/ω，不只是 −φ。 |
| 頻率 2 頻率 ω = 2; 相位 φ（度） = 90 | 位移為 −φ/ω，不只是 −φ。 |
| 零頻率 頻率 ω = 0; 相位 φ（度） = 90 | 這是常數，不能套用非恆定波形的基本周期公式。 |
結論：把 ωx＋φ 寫成 ω(x＋φ/ω)，可見水平位移為 −φ/ω；相位與水平位移並非同一量。
條件：水平平移的解讀要求 ω≠0；若 x 用弧度，φ 亦須先換成弧度。
論證：先把正弦內式子因式分解，再以 x−h 的形式辨認水平平移。
追問：哪個 x 使函數內的角變成 0？
迷思：頻率不為 1 時仍平移 −φ。
延伸：ω 為負時，預測平移方向。
離堂檢核：求 sin(2x＋π/2) 的水平位移。
−π/4，即向左 π/4。
先備：角、坐標及基本函數圖像。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。
07 三角函數 · g10-07-12 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案
只知振幅與周期，能確定高度模型嗎？
先預測：摩天輪半徑 5、中心高 6、周期 40 秒，從最右方向上開始，先估 0、10、30 秒的高度。
| 對照 | 計算觀察 |
|---|---|
| 向上四分之一周 半徑 R（米） = 5; 中心高度 H（米） = 6; 周期 T（秒） = 40; 時間 t（秒） = 10; 起始相位（度） = 0 | 採用模型前先檢查起點、方向及單位。 |
| 四分之三周 半徑 R（米） = 5; 中心高度 H（米） = 6; 周期 T（秒） = 40; 時間 t（秒） = 30; 起始相位（度） = 0 | 採用模型前先檢查起點、方向及單位。 |
| 無效零周期 半徑 R（米） = 5; 中心高度 H（米） = 6; 周期 T（秒） = 0; 時間 t（秒） = 10; 起始相位（度） = 0 | 地面以上的摩天輪須 R＞0、T＞0、H≥R。 |
結論：從中心高度向上開始時，h(t)＝H＋Rsin(2πt/T)；改變起始相位，同一時間的高度也會改變。
條件：須 T＞0、R＞0，時間單位一致；整個輪在地面以上還需 H≥R。
論證：等速旋轉給出角 2πt/T＋φ，圓點相對中心的縱坐標是其正弦乘 R，再加中心高度 H。
追問：使用模型前，公式在 t＝0 必須符合甚麼？
迷思：不看起始位置就直接用餘弦。
延伸：把模型改成從最低點開始。
離堂檢核：以上摩天輪的 h(10)、h(30) 各是多少？
分別為 11 米及 1 米。
先備：角、坐標及基本函數圖像。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。
