g10-10-05 · 大綱補充
圓台是兩個圓錐之差
圓台體積可以用上下底面積的平均值嗎？
1 分鐘・紙上預測
R＝3、r＝1、h＝4，先比較正確體積與 hπ(R²＋r²)/2。
先討論或寫下判斷，毋須輸入文字即可繼續。
交叉項不能漏；平均上下底面積會高估。
2 分鐘・解釋與修訂
你嘅猜想需要加上咩條件？
比較至少兩個例子。寫出理由，再一齊核對解釋。
揭示解釋與條件
由相似圓錐相減得 V＝πh(R²＋Rr＋r²)/3；只平均上下底面積，會忽略中間截面的變化。
條件：須 R＞0、0≤r≤R、h＞0；r＝0 為圓錐，r＝R 為圓柱極限。
數學論證：r＜R 時，相似得大錐高 H＝hR/(R−r)。以 πR²H/3−πr²(H−h)/3 相減，再分解 R³−r³，即得公式；r＝R 時連續成圓柱公式。
1 分鐘・離堂檢核
R＝3、r＝1、h＝4，求體積。
作答後核對
52π/3 立方單位。
教師提示與延伸
先備：平面面積、勾股定理及單位。
追問：立方差分解後會多出哪個交叉項？
迷思：直接把梯形面積的平均底公式套到體積。
挑戰：證明 R≠r 時，平均上下底面積的估算偏大。
建議時間：預測 1 分鐘、對照 3 分鐘、解釋 2 分鐘、檢核 1 分鐘。觀察可以提出猜想，不能證明所有輸入都成立。