教師參考：包含答案、條件與論證。
10 立體幾何初步 · g10-10-01 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案
旋轉立體會改變它的種類嗎？
先預測：比較柱、錐、圓柱、圓錐、台及球，先判斷哪些有平行底面、哪些有共同錐頂。
| 對照 | 計算觀察 |
|---|---|
| 棱柱 立體 = 棱柱 | 旋轉改變圖像，不改變結構分類。 |
| 圓錐 立體 = 圓錐 | 旋轉改變圖像，不改變結構分類。 |
| 沒有底面與頂點 立體 = 球 | 旋轉改變圖像，不改變結構分類。 |
結論：結構決定類別：平行全等底面對應柱體；共頂點對應錐體；截去小錐得到台體；球沒有平底面。
條件：使用非退化立體；曲面不是多邊形面，畫面輪廓會隨視角改變。
論證：旋轉保留相接關係、平行及底面全等；它改變投影坐標，卻不改變立體結構。
追問：旋轉後仍能辨認哪項定義特徵？
迷思：因傾斜圓柱的圖像看似變窄，就把它當成圓錐。
延伸：解釋為何球不能當成很多邊的柱體。
離堂檢核：一立體有兩個平行全等圓形底面及一個曲側面，是甚麼？
圓柱。
先備：平面面積、勾股定理及單位。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。
10 立體幾何初步 · g10-10-02 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案
相等的垂直邊，在斜二測圖會看似不等長嗎？
先預測：畫正方形，把縱深縮短一半，先估圖上邊長比與夾角。
| 對照 | 計算觀察 |
|---|---|
| 縱深半長正方形 真實正面長 = 4; 真實縱深長 = 4; 縱深比例 q = 0.5; 縱深投影角（度） = 45 | 圖上縱深已縮短，不能直接量作真實長度。 |
| 縱深不縮短 真實正面長 = 4; 真實縱深長 = 4; 縱深比例 q = 1; 縱深投影角（度） = 45 | 圖上縱深已縮短，不能直接量作真實長度。 |
| 投影軸重合 真實正面長 = 4; 真實縱深長 = 4; 縱深比例 q = 0.5; 縱深投影角（度） = 0 | 投影壓成一直線，遺失縱深資訊。 |
結論：斜二測保留選定的正面軸，並縮短及傾斜縱深；平行線仍平行，一般長度及角度卻不保真。
條件：圖須指定正的縱深比例 q，投影兩軸不能平行；壓成一直線後無法由圖恢復縱深。
論證：映射 (x,y)↦(x＋qy cosθ,qy sinθ) 為線性，保留平行方向；但兩單位軸映成長 1、q，夾角變成 θ。
追問：圖像縮短後，哪些標記仍記錄真實尺寸？
迷思：直接量紙上的斜線，把它當成真實空間角或長度。
延伸：選一個把正方形壓成直線的投影，解釋遺失甚麼。
離堂檢核：真實縱深長 6，比例 q＝1/2，圖上長度是多少？
圖上 3 單位，真實長度仍為 6。
先備：平面面積、勾股定理及單位。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。
10 立體幾何初步 · g10-10-03 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案
側面積公式應使用哪條長度？
先預測：半徑 3、垂直高 4，先估圓錐母線及總表面積。
| 對照 | 計算觀察 |
|---|---|
| 圓錐展開圖 要展開的側面 = 圓錐; 半徑 r = 3; 垂直高 h = 4 | 用展開後的長度：圓錐用母線，圓柱用垂直高。 |
| 圓柱展開圖 要展開的側面 = 圓柱; 半徑 r = 3; 垂直高 h = 4 | 用展開後的長度：圓錐用母線，圓柱用垂直高。 |
| 零高退化 要展開的側面 = 圓錐; 半徑 r = 3; 垂直高 h = 0 | 零高為退化邊界；面積公式有極限值，並非一般立體。 |
結論：圓柱側面展成寬 2πr、高 h 的矩形；圓錐展成半徑 ℓ＝√(r²＋h²)、弧長 2πr 的扇形，側面積為 πrℓ。
條件：須 r＞0、h＞0；總表面積要加底面，圓錐一個、圓柱兩個，單位為平方單位。
論證：圓錐扇形面積是半徑乘弧長的一半：(1/2)ℓ(2πr)＝πrℓ，再加底面 πr²。
追問：圓錐展開後，垂直高是否就是扇形半徑？
迷思：把圓錐垂直高 h 代入 πrh 當側面積。
延伸：比較同半徑、同垂直高的圓錐與圓柱總表面積。
離堂檢核：r＝3、h＝4 的圓錐總表面積是多少？
ℓ＝5；總表面積 15π＋9π＝24π。
先備：平面面積、勾股定理及單位。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。
10 立體幾何初步 · g10-10-04 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案
柱、錐體積由哪條高決定？
先預測：底面積 12、垂直高 5，先估柱體及錐體體積。
| 對照 | 計算觀察 |
|---|---|
| 柱體 立體 = 柱體; 底面積 S = 12; 垂直高 h = 5 | 使用垂直高，不用斜邊。 |
| 錐體 立體 = 錐體; 底面積 S = 12; 垂直高 h = 5 | 使用垂直高，不用斜邊。 |
| 垂直高為零 立體 = 錐體; 底面積 S = 12; 垂直高 h = 0 | 零高使立體退化。 |
結論：柱體 V＝Sh、錐體 V＝Sh/3，h 是垂直高；三分之一是幾何定理，不能只靠填滿動畫當證明。
條件：立體要求 S＞0、h＞0；h＝0 是退化情況，體積為零，單位為立方單位。
論證：錐體距頂點 z 的截面積為 S(z/h)²，把薄片體積相加得 Sh/3；柱體截面積恆為 S，體積得 Sh。
追問：側邊傾斜，是否就要把斜邊改當高？
迷思：把斜邊當高，或用平方單位表示體積。
延伸：解釋為何只有同高、沒有同底面積，不能比較成固定體積比。
離堂檢核：S＝12、h＝5，求錐體體積。
20 立方單位。
先備：平面面積、勾股定理及單位。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。
10 立體幾何初步 · g10-10-05 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案
圓台體積可以用上下底面積的平均值嗎？
先預測：R＝3、r＝1、h＝4，先比較正確體積與 hπ(R²＋r²)/2。
| 對照 | 計算觀察 |
|---|---|
| 一般圓台 下底半徑 R = 3; 上底半徑 r = 1; 高 h = 4 | 交叉項不能漏；平均上下底面積會高估。 |
| 圓錐邊界 下底半徑 R = 3; 上底半徑 r = 0; 高 h = 4 | 上底半徑為零時成為圓錐。 |
| 圓柱邊界 下底半徑 R = 3; 上底半徑 r = 3; 高 h = 4 | 半徑相等時成為圓柱極限。 |
結論：由相似圓錐相減得 V＝πh(R²＋Rr＋r²)/3；只平均上下底面積，會忽略中間截面的變化。
條件：須 R＞0、0≤r≤R、h＞0；r＝0 為圓錐，r＝R 為圓柱極限。
論證：r＜R 時，相似得大錐高 H＝hR/(R−r)。以 πR²H/3−πr²(H−h)/3 相減，再分解 R³−r³，即得公式；r＝R 時連續成圓柱公式。
追問：立方差分解後會多出哪個交叉項？
迷思：直接把梯形面積的平均底公式套到體積。
延伸：證明 R≠r 時，平均上下底面積的估算偏大。
離堂檢核：R＝3、r＝1、h＝4，求體積。
52π/3 立方單位。
先備：平面面積、勾股定理及單位。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。
10 立體幾何初步 · g10-10-06 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案
表面積與體積按相同倍數改變嗎？
先預測：球半徑加倍，先估表面積比與體積比。
| 對照 | 計算觀察 |
|---|---|
| 半徑不變 原半徑 r = 1; 半徑倍數 k = 1 | 面積按平方倍數，體積按立方倍數。 |
| 半徑加倍 原半徑 r = 1; 半徑倍數 k = 2 | 面積按平方倍數，體積按立方倍數。 |
| 壓成一點 原半徑 r = 1; 半徑倍數 k = 0 | 縮放後只剩一點，已不是球。 |
結論：球表面積為 4πr²，體積為 4πr³/3；半徑乘 k，面積乘 k²、體積乘 k³。
條件：球要求 r＞0、k＞0；k＝0 壓成一點，已不是球；面積與體積單位不同。
論證：把 kr 代入公式，再除以原本正的面積、體積；常數消去後分別留下 k²、k³。
追問：長度、面積、體積各對應半徑的哪次方？
迷思：因半徑加倍，就說面積或體積也只加倍。
延伸：表面積變成 9 倍，體積變成幾倍？
離堂檢核：球半徑變成 3 倍，面積、體積各變幾倍？
面積 9 倍、體積 27 倍。
先備：平面面積、勾股定理及單位。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。
