g10-06-02 · 核心課題
分數指數表示根式
16^(3/4) 要求做甚麼運算？
1 分鐘・紙上預測
先開四次根再立方，猜交換兩步是否改變結果。
先討論或寫下判斷，毋須輸入文字即可繼續。
正 4 次根為 2，再取 3 次方得 8。
2 分鐘・解釋與修訂
你嘅猜想需要加上咩條件？
比較至少兩個例子。寫出理由，再一齊核對解釋。
揭示解釋與條件
對 a>0，整數 p、正整數 q 滿足 a^(p/q)＝(q 次根 a)ᵖ；故 16^(3/4)＝2³＝8，p 為負時再取倒數。
條件：採 a>0，使所有有理指數有一致的實數定義；本活動拒絕 a≤0，不擴展個別奇次根情況。
數學論證：正 q 次根是滿足 r^q＝a 的唯一正數 r；定義 a^(p/q)＝rᵖ，約分不改變所得正值。
1 分鐘・離堂檢核
求 27^(2/3)。
作答後核對
9；27 的三次根是 3。
教師提示與延伸
先備：實數運算及閱讀坐標；先在紙上寫預測。
追問：把分子標「次方」、分母標「開根」，並把正底數條件寫在公式旁。
迷思：a^(p/q)＝aᵖ/q。
挑戰：解釋為何 16^(−3/4)＝1/8。
建議時間：預測 1 分鐘、對照 3 分鐘、解釋 2 分鐘、檢核 1 分鐘。觀察可以提出猜想，不能證明所有輸入都成立。