g10-05-15 · 核心課題
平方可能產生增根
為何 √(x＋2)＝x 平方後有兩個候選根，卻只有一個解？
1 分鐘・紙上預測
看圖前先猜 x＝−1、2 是否滿足原方程。
先討論或寫下判斷，毋須輸入文字即可繼續。
x＝2：√(x＋2)＝2，x＝2；原方程成立，平方後方程成立。
2 分鐘・解釋與修訂
你嘅猜想需要加上咩條件？
比較至少兩個例子。寫出理由，再一齊核對解釋。
揭示解釋與條件
平方得 x²＝x＋2，候選根為 −1、2；原根式非負，右邊須有 x≥0，代回拒絕 −1、接受 2。
條件：實數被開方數要求 x≥−2；與主平方根相等另要求 x≥0。
數學論證：實數 A≥0 時，√A＝B 等價於 A＝B² 且 B≥0。此處 x²−x−2＝(x−2)(x＋1)＝0，再保留 x≥0，只有 x＝2。
1 分鐘・離堂檢核
解 √(x＋2)＝x，指出增根。
作答後核對
解為 x＝2；候選根 −1 是增根，因為 1≠−1。
教師提示與延伸
先備：實數運算及閱讀坐標；先在紙上寫預測。
追問：平方時先寫單向推出，再問加甚麼條件才能改成等價。
迷思：方程兩邊平方一定完整保留解集。
挑戰：比較 y＝√(x＋2) 與 y＝x 的交點，以及 y＝x² 與 y＝x＋2 的交點。
建議時間：預測 1 分鐘、對照 3 分鐘、解釋 2 分鐘、檢核 1 分鐘。觀察可以提出猜想，不能證明所有輸入都成立。