變數法・教師參考・含答案

教師參考：包含答案、條件與論證。

11 變數法 · g10-11-01 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

哪個次方決定倍率？

x 加倍，y 必定加倍嗎？

先預測：對 y=kxⁿ，預測 n=1、2、3 時 y(2x)/y(x)。

對照	計算觀察
一次正變常數 k = 2; 次方 n = 一; 正輸入 x = 1	輸出比：2；恆等式倍率 2ⁿ=2。
平方正變常數 k = 2; 次方 n = 二; 正輸入 x = 1	輸出比：4；恆等式倍率 2ⁿ=4。
比例常數為零常數 k = 0; 次方 n = 三; 正輸入 x = 2	輸出比：無定義（0/0）；恆等式倍率 2ⁿ=8。

結論：不變量為 y/xⁿ=k；比例有定義時，x 加倍令 y 乘 2ⁿ。畫面上的有限例子用來形成猜想；下方論證說明它在所列條件下為何成立。

條件：此處 x>0、n∈{1,2,3}；k=0 時兩輸出皆零，比值沒有定義。

論證：由指數律，k(2x)ⁿ=2ⁿkxⁿ；相除要求 y(x)≠0，但原恆等式在 k=0 仍成立。

追問：區分輸出恆等式與可能無定義的比值。

迷思：「與 x² 成正變」指 kx²，不是 (kx)²。

延伸：改用正的非整數倍 t，推出倍率 tⁿ。

離堂檢核：y=3x²；x 變三倍，y 怎樣變？

y 變為九倍。

先備：乘方與比 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

11 變數法 · g10-11-02 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

固定乘積而非固定比

反變中哪個量保持不變？

先預測：在 y=k/x 中，x 乘 t 後先預測新輸出。

對照	計算觀察
正輸入加倍常數 k = 4; 輸入 x = 1; 輸入倍率 t = 2	固定乘積為 4；y(tx)=y(x)/2。
負輸入常數 k = 4; 輸入 x = -2; 輸入倍率 t = 2	固定乘積為 4；y(tx)=y(x)/2。
排除零輸入常數 k = 0; 輸入 x = 0; 輸入倍率 t = 2	即使 k=0，x=0 仍被排除。

結論：乘積 xy=k 固定；非零 t 下，新輸出為 y/t；x=0 被排除。畫面上的有限例子用來形成猜想；下方論證說明它在所列條件下為何成立。

條件：x≠0、t>0；即使 k=0，原式 k/x 在零仍沒有定義。

論證：在分母非零條件下，(tx)·[k/(tx)]=k，且 k/(tx)=(k/x)/t。

追問：輸入為零時，問代數化簡能否取消原限制。

迷思：x 乘二不是令 y 減少一個固定量。

延伸：保持同一 k，比較負與正 x。

離堂檢核：y=12/x；求 x=3、6 時的 y。

分別為 4、2；兩者 xy 均等於 12。

先備：除法與定義域限制 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

11 變數法 · g10-11-03 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

改一個因子還是兩個？

聯變中兩個量都加倍，結果還是只加倍嗎？

先預測：對 y=kxz，比較只把 x 加倍與把 x、z 同時加倍。

對照	計算觀察
兩個非零因子常數 k = 2; 輸入 x = 1; 輸入 z = 2	一個因子加倍得 2y；兩個加倍得 4y，包括零值情況。
一個負因子常數 k = 2; 輸入 x = -1; 輸入 z = 2	一個因子加倍得 2y；兩個加倍得 4y，包括零值情況。
零因子常數 k = 2; 輸入 x = 0; 輸入 z = 2	一個因子加倍得 2y；兩個加倍得 4y，包括零值情況。

結論：一個因子加倍使 y 加倍；兩者加倍使 y 乘四；零輸入仍合法，但比值可能無定義。畫面上的有限例子用來形成猜想；下方論證說明它在所列條件下為何成立。

條件：k、x、z 為實數；y/(xz) 只在 xz≠0 時使用。

論證：由乘法結合及交換律，k(sx)(tz)=st(kxz)；此恆等式毋須除以可能為零的輸出。

追問：請小組先只改一個因子，再同時改兩者。

迷思：聯變必須說明哪些變數保持不變。

延伸：x 乘 s、z 乘 t，求合併倍率。

離堂檢核：y=2xz；原 x=3、z=4；x 加倍、z 減半會怎樣？

y 仍為 24，因兩倍率乘積為一。

先備：乘積與正變 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

11 變數法 · g10-11-04 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

固定部分改變比值

直線圖像必定表示正比嗎？

先預測：保持相同變化率 b，比較 y=a+bx 與 y=bx。

對照	計算觀察
固定起始量固定部分 a = 3; 變化率 b = 2; 輸入 x = 2	加倍差: y(2x)−2y(x)=-3=−a
正變邊界固定部分 a = 0; 變化率 b = 2; 輸入 x = 2	加倍差: y(2x)−2y(x)=0=−a
零輸入固定部分 a = 3; 變化率 b = 2; 輸入 x = 0	加倍差: y(2x)−2y(x)=-3=−a

結論：固定部分 a 使 y(0)=a；相等輸入增量給相等輸出增量，但輸出比未必固定。畫面上的有限例子用來形成猜想；下方論證說明它在所列條件下為何成立。

條件：x 非負；a、b 是模型參數，不是實測事實。

論證：y(2x)−2y(x)=−a，因此對所有 x 輸出加倍當且僅當 a=0；另有 y(x+h)−y(x)=bh。

追問：比較每單位費率前，先辨認起始量。

迷思：帶截距的直線關係不等於過原點的正比關係。

延伸：由兩組輸入輸出求 a、b，再檢查第三組。

離堂檢核：費用為 20+3x；比較 x=2 與 x=4。

26 與 32；x 加倍不會使固定 20 加倍。

先備：仿射函數與比 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。