04 多項式除法與餘式定理 · g10-04-01 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案
除法保留甚麼關係？
商式與餘式如何重組 f？
先預測：三次式除以 x−a，先預測商式次數與餘式形式。
| 對照 | 計算觀察 |
|---|---|
| 非零餘式 x² 係數 b = -2; x 係數 c = 0; 常數 d = 3; 除式中的 a = 2 | 除法恆等式: f(x)=(x−(2))(x^2)+(3) |
| 整除 x² 係數 b = 0; x 係數 c = -1; 常數 d = 0; 除式中的 a = 1 | 除法恆等式: f(x)=(x−(1))(x^2 +x)+(0) |
| 除以 x x² 係數 b = 2; x 係數 c = -3; 常數 d = 4; 除式中的 a = 0 | 除法恆等式: f(x)=(x−(0))(x^2 +2x −3)+(4) |
結論：多項式除法給出 f=(x−a)q+r，r 為常數；圖上 f 與 (x−a)q 在各處的垂直差均為 r。 畫面上的有限例子用來形成猜想；下方論證說明它在所列條件下為何成立。
條件：除式為非零首一多項式 x−a；係數為實數。
論證：展開所得商式，逐次方係數相同；餘式次數小於一，因此對所有實數 x 成立。
追問：先指幾處固定垂直差，再要求係數論證。
迷思：恆等式在 a 亦成立；只有分式寫法才排除 a。
延伸：說明一次除式為何不能留下非常數餘式。
離堂檢核：把 x²+1 除以 x−1。
商 x+1，餘 2；x²+1=(x−1)(x+1)+2。
先備：多項式展開 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。