部分分式・教師參考・含答案

教師參考：包含答案、條件與論證。

13 部分分式 · g10-13-01 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

兩個分母，一條恆等式

禁值為何仍可用來求係數？

先預測：分解 (mx+n)/[(x−a)(x−b)]；預測分子恆等式在 x=a 時留下甚麼。

對照	計算觀察
不同一次因式第一根 a = 0; 第二根 b = -1; 分子係數 m = 0; 分子常數 n = 1	多項式部分=0; A=1, B=-1; x≠0,-1
分子可約去因式第一根 a = 1; 第二根 b = -1; 分子係數 m = 1; 分子常數 n = -1	多項式部分=0; A=0, B=1; x≠1,-1
重複因式須換形式第一根 a = 1; 第二根 b = 1; 分子係數 m = 1; 分子常數 n = 2	此不同根模型要求 a≠b；請改用重因式活動。

結論：消分母後，mx+n=A(x−b)+B(x−a) 是多項式恆等式，在 a、b 處亦可合法代入。畫面上的有限例子用來形成猜想；下方論證說明它在所列條件下為何成立。

條件：a≠b；原分式要求 x≠a,b。

論證：代 x=a 得 A=(ma+n)/(a−b)，代 x=b 得 B=(mb+n)/(b−a)；所得係數亦滿足 A+B=m、−Ab−Ba=n。

追問：明確指出正在把數值代入哪一個式子。

迷思：不可把禁值代入原有理式。

延伸：不用特殊值代入，改用比較係數求 A、B。

離堂檢核：分解 1/[x(x+1)]。

1/x−1/(x+1)，保留 x≠0,−1。

先備：有理式定義域與係數恆等式 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

13 部分分式 · g10-13-02 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

重因式為何逐次冪列出？

一項分式足以表示分母 (x−a)² 的任何一次分子嗎？

先預測：比較 A/(x−a)+B/(x−a)² 與只保留 B/(x−a)² 的提案。

對照	計算觀察
兩個次冪都需要重根 a = 1; 分子係數 m = 1; 分子常數 n = 0	重因式係數: A=1, B=1; x≠1
一次項係數為零重根 a = 1; 分子係數 m = 0; 分子常數 n = 2	重因式係數: A=0, B=2; x≠1
二次項係數為零重根 a = 1; 分子係數 m = 1; 分子常數 n = -1	重因式係數: A=1, B=0; x≠1

結論：分子為 mx+n 時，比較係數得 A=m、B=ma+n；除非 m=0，刪 A 會漏掉變量項。畫面上的有限例子用來形成猜想；下方論證說明它在所列條件下為何成立。

條件：x≠a；即使分子可約去因式，仍使用重根形式。

論證：消分母得 mx+n=A(x−a)+B；x 係數要求 A=m，常數要求 B=n+ma。

追問：同時展示錯誤與修正圖像，請找漏掉的係數。

迷思：一個數值吻合不能證明有理式恆等。

延伸：把設式形式推廣至分母 (x−a)³。

離堂檢核：分解 x/(x−1)²。

1/(x−1)+1/(x−1)²，x≠1。

先備：比較係數 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

13 部分分式 · g10-13-03 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

先除法，再分解

多項式部分從何而來？

先預測：比較 x²+px+q 與 (x−a)(x−b) 次數，預測不可遺漏的多項式項。

對照	計算觀察
非零餘式分子係數 p = 2; 分子常數 q = 3; 第一根 a = 1; 第二根 b = -1	多項式部分=1; A=3, B=-1; x≠1,-1
餘式零但仍有兩禁值分子係數 p = 0; 分子常數 q = -1; 第一根 a = 1; 第二根 b = -1	多項式部分=1; A=0, B=0; x≠1,-1
可約去一因式分子係數 p = 0; 分子常數 q = 0; 第一根 a = 0; 第二根 b = 1	多項式部分=1; A=0, B=1; x≠0,1

結論：商為 1；只有較低次餘式才再拆為簡單分式。畫面上的有限例子用來形成猜想；下方論證說明它在所列條件下為何成立。

條件：a≠b、x≠a,b；分子及分母均為首一二次式。

論證：減去分母後餘 (p+a+b)x+(q−ab)；原比值等於 1 加此餘式比，再由不同根係數恆等式驗證拆式。

追問：問 x 很大、真分式很小時，還留下甚麼。

迷思：這些真分式的和不能重現非零多項式部分。

延伸：不用圖像作證，說明水平趨近值。

離堂檢核：把 x²/[x(x−1)] 寫成多項式加簡單分式。

1+1/(x−1)，仍保留 x≠0,1。

先備：多項式除法與簡單分式 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

13 部分分式 · g10-13-04 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

約分能填補空點嗎？

共同定義域上數值相等，是否等於定義域相同？

先預測：比較 (x−a)(x+c)/[(x−a)(x−b)] 與 (x+c)/(x−b)，特別檢查 x=a。

對照	計算觀察
一般容許輸入約去的根 a = 1; 餘下分母根 b = -1; 分子平移 c = 2; 探測輸入 x = 0	原式排除 1、-1；所寫簡式排除 -1。
被約去的根約去的根 a = 1; 餘下分母根 b = -1; 分子平移 c = 2; 探測輸入 x = 1	原式排除 1、-1；所寫簡式排除 -1。
兩處均可去約去的根 a = 1; 餘下分母根 b = -1; 分子平移 c = 1; 探測輸入 x = -1	原式排除 1、-1；所寫簡式排除 -1。

結論：約分只保留原容許輸入的值；簡式可以延伸定義域，但原空點仍須排除。畫面上的有限例子用來形成猜想；下方論證說明它在所列條件下為何成立。

條件：a≠b；原定義域排除 a、b，所寫簡式仍排除 b。

論證：原定義域內 x−a 非零，可合法約去；x=a 時原分母為零，不受簡式值有限與否影響。

追問：比較兩條圖像前，先寫各自定義域。

迷思：可去間斷不代表可暗中重新定義原函數。

延伸：選 c=−b，分類兩個被排除輸入的情況。

離堂檢核：(x²−1)/(x−1) 與 R 上的 x+1 是同一函數嗎？

不是；原式排除 1，雖然其他位置數值相同。

先備：定義域、約分與函數相等 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。