解三角形・教師參考・含答案

教師參考：包含答案、條件與論證。

09 解三角形 · g10-09-01 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

三角形中的三個相等比

一邊按比例改變，a/sinA 如何改變？

先預測：固定 A＝30°、B＝60°，把 a 加倍，先估其他邊及三個比。

對照	計算觀察
30–60 三角形角 A（度） = 30; 角 B（度） = 60; 對邊 a = 3	三個比相等，但必須配對對邊與對角。
尺度加倍角 A（度） = 30; 角 B（度） = 60; 對邊 a = 6	三個比相等，但必須配對對邊與對角。
角和已達 180° 角 A（度） = 90; 角 B（度） = 90; 對邊 a = 3	須有正邊長，三個正內角之和為 180°。

結論：正弦定理給出 a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R。角固定形狀，一邊改變便使所有邊及共同比按同倍縮放。

條件：A、B、C 必須為正且和為 180°；邊與其對角標記要配對。

論證：由高可得面積 ab sinC/2＝bc sinA/2＝ca sinB/2，相除便得各比相等。

追問：標作 a 的邊，其對角在哪裏？

迷思：把一邊與鄰角配對。

延伸：角未變，為何共同比仍隨放大而改變？

離堂檢核：A＝30°、B＝90°、a＝3，求 b。

b＝3sin90°/sin30°＝6。

先備：三角形內角、正弦及餘弦。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

09 解三角形 · g10-09-02 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

勾股定理多了一項修正

夾角不是 90° 時，勾股關係如何改變？

先預測：固定 a＝5、b＝7，先比較 C＝60°、90°、120° 時的 c。

對照	計算觀察
銳夾角邊 a = 5; 邊 b = 7; 夾角 C（度） = 60	修正項由夾角決定。
直角邊 a = 5; 邊 b = 7; 夾角 C（度） = 90	修正項由夾角決定。
退化邊界邊 a = 5; 邊 b = 7; 夾角 C（度） = 180	邊界角形成退化圖形，並非真正三角形。

結論：餘弦定理為 c²＝a²＋b²−2abcosC；C＝90° 時修正項消失，銳角時減少平方和，鈍角時增加。

條件：非退化三角形要求 a、b＞0 且 0°＜C＜180°；C 必須是兩邊的夾角。

論證：把頂點放在 (0,0)、(b,0)、(acosC,asinC)，兩端點之差的平方和化簡即為 a²＋b²−2abcosC。

追問：cos90° 是多少？為何因此回到勾股定理？

迷思：在餘弦定理中使用非夾角。

延伸：C 接近 180° 時，比較 c 與 a＋b。

離堂檢核：a＝5、b＝7、C＝60°，求 c²。

25＋49−35＝39。

先備：三角形內角、正弦及餘弦。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

09 解三角形 · g10-09-03 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

同一組 SSA 資料可有兩個三角形

兩邊及一個非夾角，為何可有零、一、兩解？

先預測：固定 A＝30°、b＝10，先估 a＝4、5、6、10 各有幾個三角形。

對照	計算觀察
太短：零解已知角 A（度） = 30; 已知邊 b = 10; 對邊 a = 4	0 個非退化三角形；每個候選均須 A＋B＜180°。
相切：一解已知角 A（度） = 30; 已知邊 b = 10; 對邊 a = 5	1 個非退化三角形；每個候選均須 A＋B＜180°。
雙解情況已知角 A（度） = 30; 已知邊 b = 10; 對邊 a = 6	2 個非退化三角形；每個候選均須 A＋B＜180°。
兩邊相等：一解已知角 A（度） = 30; 已知邊 b = 10; 對邊 a = 10	1 個非退化三角形；每個候選均須 A＋B＜180°。

結論：正弦定理給出 sinB＝b sinA/a。B 與 180°−B 都可能符合，但每個候選都要使 C＝180°−A−B 為正。

條件：邊與角必須為正；正弦值大於 1 表示無解，餘角為零須排除。

論證：0＜sinB＜1 時，在 (0°,180°) 內有兩個候選；逐一檢查 A＋B＜180°，才能確定真正三角形。

追問：哪個第二角有相同正弦？還有空間容納 C 嗎？

迷思：只保留計算機的反正弦主值，或把退化的第二個圖形也計入。

延伸：把 a＝b sinA 的臨界情況解釋為相切。

離堂檢核：A＝30°、b＝10、a＝6 時有幾個三角形？

兩個；兩個候選 B 均留下正的 C。

先備：三角形內角、正弦及餘弦。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

09 解三角形 · g10-09-04 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

兩邊相同，面積可以不同

兩邊固定時，哪個夾角使面積最大？

先預測：兩邊為 5、7，先比較夾角 30°、90°、150° 的面積。

對照	計算觀察
30° 邊 a = 5; 邊 b = 7; 夾角 C（度） = 30	面積隨高改變，並非只由兩邊長決定。
90° 最大值邊 a = 5; 邊 b = 7; 夾角 C（度） = 90	面積隨高改變，並非只由兩邊長決定。
零面積邊界邊 a = 5; 邊 b = 7; 夾角 C（度） = 0	邊界角形成退化圖形，並非真正三角形。

結論：面積為 ab sinC/2，在 90° 最大；互補夾角面積相同，但第三邊通常不同。

條件：須 a、b＞0 且 0°＜C＜180°；端點角面積為零，是退化圖形。

論證：向邊 b 作高 h＝a sinC，故面積＝bh/2＝ab sinC/2；由 sinC≤1，面積上界 ab/2 在 90° 取得。

追問：兩邊固定時，哪條高在改變？

迷思：以為兩邊相同便面積相同，忽略夾角。

延伸：找兩個不同夾角，使非零面積相同。

離堂檢核：兩邊為 4、6，最大面積是多少？

12，在夾角 90° 時取得。

先備：三角形內角、正弦及餘弦。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。

09 解三角形 · g10-09-05 · 5–10 分鐘 · 教師版・含答案

不用過河也能量距離

一條基線與兩個觀測角能確定甚麼？

先預測：基線 20 米，觀測角 45°、60°；先估遠點到第一站的距離是否超過 20 米。

對照	計算觀察
不同觀測角基線（米） = 20; 第一觀測角 A（度） = 45; 第二觀測角 B（度） = 60	視線 AP 與垂直河寬是不同的量。
對稱觀測基線（米） = 20; 第一觀測角 A（度） = 45; 第二觀測角 B（度） = 45	視線 AP 與垂直河寬是不同的量。
沒有剩餘內角基線（米） = 20; 第一觀測角 A（度） = 90; 第二觀測角 B（度） = 90	須基線為正，兩角皆為正且 A＋B＜180°。

結論：基線 c 及底角 A、B 給出 C＝180°−A−B；正弦定理得 AC＝c sinB/sinC，垂直河寬則為 AC sinA。

條件：須 c＞0、A＞0、B＞0、A＋B＜180°；假設基線直、觀測在同一水平面及角度準確。

論證：構造三角形用正弦定理求邊，再由垂足形成的直角三角形得河寬＝AC sinA。

追問：哪段是視線，哪段才是河寬？

迷思：把斜向視線距離當成垂直河寬。

延伸：把兩角和調近 180°，解釋為何推算距離變大。

離堂檢核：c＝20、A＝B＝45°，求垂直河寬。

10 米；遠點在基線中點正上方。

先備：三角形內角、正弦及餘弦。 · 時間：預測 1、比較 3、解釋 2、檢核 1 分鐘。有限觀察不能證明全稱命題。