2023 JM01

1. 解二次不等式。

   $$(x-4)(x+2)\ge0\iff x\le-2\text{ or }x\ge4$$

2. 與開區間取交集。

   $$M\cap N=[4,6)$$

E：[4,6)。

檢查與易錯點：端點 4 包含，6 不包含。

1. 設商式為 q。

   $$f(x)=(x^2-x-6)q(x)+3x-2$$

2. 代入除式的根。

   $$f(3)=0q(3)+9-2=7$$

D：7。

檢查與易錯點：須把 3 代入餘式，不能直接把餘式當常數。

1. 互為倒數的對數相乘為一。

   $$\log_{12}17\log_{17}12=1$$

2. 把餘下兩項換底。

   $$\frac{3\ln5}{2\ln3}\frac{\ln3}{2\ln5}=\frac34$$

C：3/4。

檢查與易錯點：底數與真數的冪都要處理。

1. 分解 t 的方程。

   $$t^2+4t-12=(t-2)(t+6)=0\implies t=2$$

2. 解剩餘二次式並檢查根號內值。

   $$x^2-3x=4\iff(x-4)(x+1)=0$$

C：{−1,4}。

檢查與易錯點：t 為非負平方根，所以捨去 −6。

1. 令判別式為零。

   $$4(a+3)^2-144a^2=0\iff(a+3)^2=36a^2$$

2. 解兩個一次式；兩解均滿足 a≠0。

   $$a+3=\pm6a\implies a=3/5\text{ or }-3/7$$

D：a=−3/7 或 3/5。

檢查與易錯點：a=0 會成為一次方程，不符二次條件。

1. 寫出通項。

   $$\binom6k2^{6-k}(-1)^kx^{3-k}$$

2. 取 k=3 並計算。

   $$\binom632^3(-1)^3=-160$$

C：−160。

檢查與易錯點：負因子個數為奇數，所以結果為負。

1. 求導。

   $$f'(x)=2ax+4$$

2. a<0 時要求 8a+4≥0；4 不在區間內，因此可取等號。

   $$a\ge-1/2$$

D：a≥−1/2。

檢查與易錯點：a=−1/2 時在此開區間仍嚴格遞增。

1. 連同定義域使用對數分段。

   $$f(5)=2,\quad\log_2(1/2-3|x|)>-2$$

2. 底數大於一，不等號方向不變。

   $$1/2-3|x|>1/4\iff|x|<1/12$$

A：−1/12<x<1/12。

檢查與易錯點：最後更強的界同時保證對數真數為正。

1. 求排水體積。

   $$V=\frac43\pi(2)^3=\frac{32\pi}3$$

2. 換算高度並檢查不溢出。

   $$\Delta h=\frac{32\pi/3}{9\pi}=\frac{32}{27},\quad5+32/27<8$$

E：32/27 米。

檢查與易錯點：應除以水箱面積，而非球的大圓面積。

1. 求 d。

   $$d=(26-80)/(16-7)=-6$$

2. 計算所求項。

   $$a_{34}=26+18(-6)=-82$$

B：−82。

檢查與易錯點：使用下標之差，而非直接用下標。

1. 中點為 (−2,−2)，所求斜率為 −4/3。

   $$m_0=3/4,\quad m=-4/3$$

2. 使用點斜式。

   $$y+2=-\frac43(x+2)\iff4x+3y+14=0$$

A。

檢查與易錯點：垂直斜率須取倒數並變號。

1. 用 c²=a²+b²、c/a=3。

   $$b^2=8a^2,\quad\frac{b^2+2}{a}=8a+\frac2a$$

2. 兩項乘積固定且可取等號。

   $$8a+2/a\ge2\sqrt{16}=8,\quad8a=2/a\iff a=1/2$$

E：8。

檢查與易錯點：整個 b²+2 都是分子。

1. 按象限符號求餘弦。

   $$\cos A=-\sqrt{21}/5,\quad\cos B=-3/5$$

2. 代入和角公式。

   $$\sin(A+B)=\frac25\left(-\frac35\right)+\left(-\frac{\sqrt{21}}5\right)\frac45=\frac{-6-4\sqrt{21}}{25}$$

A。

檢查與易錯點：第二象限正弦為正，餘弦仍為負。

1. 求中線與振幅。

   $$b=(4+0)/2=2,\quad|a|=(4-0)/2=2$$

2. 用極大點確定符號。

   $$4=a\sin(3\pi/2)+2=-a+2\implies a=-2$$

B：a=−2、b=2。

檢查與易錯點：振幅給出 |a|，不直接決定 a 的正負。

1. 旋轉再反射。

   $$(-2,3)\to(3,2)\to(3,-2)$$

2. 最後縱坐標減 3。

   $$(3,-2)\to(3,-5)$$

E：(3,−5)。

檢查與易錯點：改變變換次序會改變結果。

1. 列出兩互斥情況。

   $$P=(3/4)^{10}+\binom{10}1(1/4)(3/4)^9$$

2. 提出共同因子。

   $$P=\frac{13}4(3/4)^9$$

概率為 (13/4)(3/4)⁹。

檢查與易錯點：「最多」包含零次。

1. 指定唯一結果模式。

   $$T^9H$$

2. 獨立概率相乘。

   $$P=(3/4)^9(1/4)=3^9/4^{10}$$

3⁹/4¹⁰。

檢查與易錯點：正面位置固定，不需乘組合數。

1. 計算較早兩次正面的位置選法。

   $$P=\binom92(1/4)^2(3/4)^7(1/4)$$

2. 化簡次方。

   $$P=\frac{36\cdot3^7}{4^{10}}=(3/4)^9$$

(3/4)⁹。

檢查與易錯點：在十次中任選三次正面不能保證第三次在第十次出現。

1. 辨認焦參數。

   $$4p=4\implies p=1$$

2. 焦點在頂點上方 p 單位。

   $$F=(0,p)=(0,1)$$

F=(0,1)。

檢查與易錯點：係數 4 是焦距的四倍。

1. 求兩交點。

   $$x^2=3x+4\implies x=-1,4;\quad A=(-1,1/4),\ B=(4,4)$$

2. 用距離公式。

   $$AB=\sqrt{5^2+(15/4)^2}=25/4$$

AB=25/4。

檢查與易錯點：橫坐標差不是弦長。

1. 韋達定理給出和，圖形給出帶符號比例。

   $$x^2-4x-4t=0,\quad x_C+x_D=4,\quad x_D=-3x_C$$

2. 求解並把水平距離換成弦長。

   $$x_C=-2,\ x_D=6,\quad CD=\sqrt{1+1^2}(6+2)=8\sqrt2$$

CD=8√2。

檢查與易錯點：圖示 M 在兩點之間的條件不可省略；只有無符號長度會容許另一配置。

1. 首三項為 9−2k、18、54。

   $$18^2=54(9-2k)\implies k=3/2$$

2. 首項為 6，公比為 3。

   $$a_n=6\cdot3^{n-1}=2\cdot3^n$$

k=3/2；aₙ=2·3ⁿ。

檢查與易錯點：n≥2 的差分式不能代替對 S₁ 的檢查。

1. 展開對數。

   $$b_n=\frac1{2\cdot3^n}+1+n\log_2 3$$

2. 逐部分求和。

   $$T_n=\frac14(1-3^{-n})+n+\frac{n(n+1)}2\log_2 3$$

Tₙ=(1−3⁻ⁿ)/4+n+n(n+1)log₂3/2。

檢查與易錯點：倒數部分首項為 1/6，不是 1/2。

1. 連續情況極大點為 c=1/10。

   $$-5c^2+c=1/20-5(c-1/10)^2$$

2. 遞減數列 1/3、1/9、1/27、… 中，1/9 最接近 1/10。

   $$|1/9-1/10|=1/90<1/10-1/27,\quad n=2,\ f(2)=4/81$$

n=2；最大值為 4/81。

檢查與易錯點：連續最優值不一定能由數列取到。

1. 合併正弦與餘弦。

   $$f(x)=\sqrt3\sin(2wx)-\cos(2wx)-1=2\sin(2wx-\pi/6)-1$$

2. 週期確定兩個可能符號。

   $$\frac{2\pi}{|2w|}=3\pi\implies w=\pm1/3,\quad f(x)=2\sin(\pm2x/3-\pi/6)-1$$

w=±1/3；官方答案選用正分支。

檢查與易錯點：週期本身只決定 |w|，不能決定正負。

1. w<0 時正弦角在 (−5π/6,−π/6)，f(C)<0，因此 w=1/3。

2. 在正分支容許範圍解方程。

   $$\sin(2C/3-\pi/6)=1/2,\quad-\pi/6<2C/3-\pi/6<\pi/2\implies C=\pi/2$$

3. 化為 sin A 的二次式並取正根。

   $$\sin^2B=\sin A\implies1-\sin^2A=\sin A\implies\sin A=\frac{\sqrt5-1}2$$

sin A=(√5−1)/2。

檢查與易錯點：sin²B 表示平方，不是 sin(2B)。

1. 求三個頂點。

   $$A=(2,7/2),\quad B=(5,13/2),\quad C=(5,-1)$$

2. 區域為閉三角形，位於 y=(13−3x)/2 上方、y=x+3/2 下方及 x=5 左方。

頂點 (2,7/2)、(5,13/2)、(5,−1) 所圍的閉三角形。

檢查與易錯點：三個不等式皆非嚴格，所以所有邊均包含。

1. 對每個 x 限制比值。

   $$\frac{13}{2x}-\frac32\le\frac yx\le1+\frac{3}{2x},\quad2\le x\le5$$

2. 兩界皆隨 x 遞減，極值分別在 C、A。

   $$z_{\min}=\frac{13}{10}-\frac32=-\frac15,\quad z_{\max}=1+\frac34=\frac74$$

−1/5≤z≤7/4。

檢查與易錯點：比值不是線性目標，須用 x>0 或斜率論證。

1. 限制距離平方。

   $$13(x^2+y^2)\ge(3x+2y)^2\ge169\implies t\ge13$$

2. 等號要求 (x,y) 與 (3,2) 成比例且 3x+2y=13，所得點符合其餘限制。

   $$(x,y)=(3,2),\quad x\le5,\quad2x-2y+3=5\ge0$$

在 (3,2) 最小值為 13。

檢查與易錯點：最近點可以在邊上，不一定在頂點。