學習・解釋・訂正

事件的相互獨立性

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修第二册(A版).pdf · 10.2 · PDF 256 / 印刷頁 249

先重溫：隨機事件與概率

專題 01

事件的相互獨立性

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握事件的相互獨立性。

學完之後，你能解釋

運用事件的相互獨立性，作有理據的結論。
連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

獨立性

獨立事件滿足乘法規則。

P(A\cap B)=P(A)P(B)

模型檢查

共同原因及不放回抽樣可能造成相依。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「事件的相互獨立性」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

二項模型：固定 n=5、試驗獨立、共同 p=0.5。E(X)=2.5，Var(X)=1.25；長條顯示精確概率。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

獨立 A、B 的概率為1/2、1/(k+2)。求交集概率。

k=2

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。

提示 2

獨立事件概率相乘。

完整解答

只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。
計算或化簡此關係式。
$P(A\cap B)=1/2\cdot1/4=1/8$
相乘由獨立假設支持。

所求值為 0.125。

檢查與易錯點：相乘由獨立假設支持。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

兩獨立零件各以k/(k+1)概率工作，串聯系統須兩者均工作。求成功概率。

k=2

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。

提示 2

串聯成功是交集事件。

完整解答

只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。
計算或化簡此關係式。
$P=(k/(k+1))^2=4/9$
「至少一個」描述的是另一種系統。

所求值為 0.44444444。

檢查與易錯點：「至少一個」描述的是另一種系統。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

各零件失敗概率1/(k+1)，但共同斷電會同時影響兩者。可無額外證據使用獨立串聯公式嗎？

k=2

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。

提示 2

檢查共同原因，不只看邊際概率。

完整解答

只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。
計算或化簡此關係式。
$P(A\cap B)\ne P(A)P(B)\text{ in general}$
數值邊際比率不能證明獨立。

不能；共同原因可能造成相依。

檢查與易錯點：數值邊際比率不能證明獨立。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

獨立 A、B 的概率為1/2、1/(k+2)。求交集概率。

k=3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。

提示 2

獨立事件概率相乘。

完整解答

只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。
計算或化簡此關係式。
$P(A\cap B)=1/2\cdot1/5=1/10$
相乘由獨立假設支持。

所求值為 0.1。

檢查與易錯點：相乘由獨立假設支持。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

兩獨立零件各以k/(k+1)概率工作，串聯系統須兩者均工作。求成功概率。

k=3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。

提示 2

串聯成功是交集事件。

完整解答

只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。
計算或化簡此關係式。
$P=(k/(k+1))^2=9/16$
「至少一個」描述的是另一種系統。

所求值為 0.5625。

檢查與易錯點：「至少一個」描述的是另一種系統。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

兩獨立零件各以1/(k+1)概率失敗；並聯系統至少一個工作便成功。求成功概率。

k=3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。

提示 2

用兩者都失敗的補事件。

完整解答

只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。
計算或化簡此關係式。
$P=1-P(\text{both fail})=1-1/16$
失敗事件亦須有獨立性。

所求值為 0.9375。

檢查與易錯點：失敗事件亦須有獨立性。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

A、B 獨立且 P(B)>0。比較 P(A|B) 與 P(A)。

P(B)=1/4

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。

提示 2

使用獨立性的乘法定義。

完整解答

只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。
計算或化簡此關係式。
$P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)=P(A)$
此模型中，已知B不改變A的概率。

兩者相等。

檢查與易錯點：此模型中，已知B不改變A的概率。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

A、B 互斥，概率均為1/(k+2)。它們獨立嗎？

k=3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。

提示 2

比較交集的概率與兩事件的概率乘積。

完整解答

只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。
計算或化簡此關係式。
$0=P(A\cap B)\ne P(A)P(B)=1/(k+2)^2$
正概率互斥事件並不獨立。

否，交集的概率為零，但兩事件的概率乘積為正。

檢查與易錯點：正概率互斥事件並不獨立。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

袋有k紅1藍，不放回抽兩次。兩次抽紅事件獨立嗎？

k=3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。

提示 2

首個結果後更新袋內組成。

完整解答

只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。
計算或化簡此關係式。
$(k-1)/k\ne k/(k+1)$
不放回時，首抽改變第二次分佈。

否；P(第二次紅|第一次紅)=(k−1)/k，不同於k/(k+1)。

檢查與易錯點：不放回時，首抽改變第二次分佈。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

各零件失敗概率1/(k+1)，但共同斷電會同時影響兩者。可無額外證據使用獨立串聯公式嗎？

k=3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。

提示 2

檢查共同原因，不只看邊際概率。

完整解答

只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。
計算或化簡此關係式。
$P(A\cap B)\ne P(A)P(B)\text{ in general}$
數值邊際比率不能證明獨立。

不能；共同原因可能造成相依。

檢查與易錯點：數值邊際比率不能證明獨立。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

獨立 A、B 的概率為1/2、1/(k+2)。求交集概率。

k=4

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。

提示 2

獨立事件概率相乘。

完整解答

只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。
計算或化簡此關係式。
$P(A\cap B)=1/2\cdot1/6=1/12$
相乘由獨立假設支持。

所求值為 0.08333333。

檢查與易錯點：相乘由獨立假設支持。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

兩獨立零件各以k/(k+1)概率工作，串聯系統須兩者均工作。求成功概率。

k=4

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。

提示 2

串聯成功是交集事件。

完整解答

只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。
計算或化簡此關係式。
$P=(k/(k+1))^2=16/25$
「至少一個」描述的是另一種系統。

所求值為 0.64。

檢查與易錯點：「至少一個」描述的是另一種系統。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

兩獨立零件各以1/(k+1)概率失敗；並聯系統至少一個工作便成功。求成功概率。

k=4

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。

提示 2

用兩者都失敗的補事件。

完整解答

只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。
計算或化簡此關係式。
$P=1-P(\text{both fail})=1-1/25$
失敗事件亦須有獨立性。

所求值為 0.96。

檢查與易錯點：失敗事件亦須有獨立性。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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教師備課與評核

提問順序

使用「事件的相互獨立性」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
改變一項假設後，原結論還成立嗎？

板書重點

運用事件的相互獨立性，作有理據的結論。
獨立性：獨立事件滿足乘法規則。
$P(A\cap B)=P(A)P(B)$
模型檢查：共同原因及不放回抽樣可能造成相依。
總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

預期想法

預期理由：獨立事件滿足乘法規則。
預期理由：共同原因及不放回抽樣可能造成相依。
預期修正：已知邊際概率不能確立獨立。

評核清單

1：辨識已知條件及所求。
1：選取合適定義、表示或方法。
1：推理連貫且正確。
1：檢驗條件並解釋結果。