學習・解釋・訂正

隨機事件與概率

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修第二册(A版).pdf · 10.1 · PDF 235 / 印刷頁 228

先重溫：統計案例

專題 01

隨機事件與概率

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握隨機事件與概率。

學完之後，你能解釋

運用隨機事件與概率，作有理據的結論。
連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

事件集合

事件是樣本空間子集；概率是其數值度量。

概率規則

配合集合意義使用補事件及容斥。

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「隨機事件與概率」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

二項模型：固定 n=5、試驗獨立、共同 p=0.5。E(X)=2.5，Var(X)=1.25；長條顯示精確概率。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

公平轉盤有k+3個等可能標號1至k+3。求標號1的概率。

k=2

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。

提示 2

計算有利基本結果。

完整解答

先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。
計算或化簡此關係式。
$P=1/5$
等可能是題定條件，不能單憑標號推定。

所求值為 0.2。

檢查與易錯點：等可能是題定條件，不能單憑標號推定。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

轉盤有1至2k的等可能標號，求偶數標號概率。

k=2

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。

提示 2

有k個偶數標號。

完整解答

先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。
計算或化簡此關係式。
$P=2/4=1/2$
此事件包含多個基本結果。

所求值為 0.5。

檢查與易錯點：此事件包含多個基本結果。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

有人給事件概率1+1/k。解釋為何不成立。

k=2

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。

提示 2

計算前先檢查概率公理。

完整解答

先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。
計算或化簡此關係式。
$1+1/k>1$
所有事件概率須在[0,1]內。

它大於一，超出概率範圍。

檢查與易錯點：所有事件概率須在[0,1]內。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

公平轉盤有k+3個等可能標號1至k+3。求標號1的概率。

k=3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。

提示 2

計算有利基本結果。

完整解答

先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。
計算或化簡此關係式。
$P=1/6$
等可能是題定條件，不能單憑標號推定。

所求值為 0.16666667。

檢查與易錯點：等可能是題定條件，不能單憑標號推定。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

轉盤有1至2k的等可能標號，求偶數標號概率。

k=3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。

提示 2

有k個偶數標號。

完整解答

先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。
計算或化簡此關係式。
$P=3/6=1/2$
此事件包含多個基本結果。

所求值為 0.5。

檢查與易錯點：此事件包含多個基本結果。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

P(A)=k/(k+2)，求補事件概率。

k=3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。

提示 2

事件及補事件分割樣本空間。

完整解答

先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。
計算或化簡此關係式。
$P(A^c)=1-3/5=2/5$
補事件以題定樣本空間為準。

所求值為 0.4。

檢查與易錯點：補事件以題定樣本空間為準。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

互斥事件的概率為1/(k+3)、2/(k+3)。求聯集概率。

k=3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。

提示 2

互斥使交集項為零。

完整解答

先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。
計算或化簡此關係式。
$P(A\cup B)=1/6+2/6=3/6$
互斥不等於獨立。

所求值為 0.5。

檢查與易錯點：互斥不等於獨立。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

已知所列概率，求 P(A∪B)。

k=3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。

提示 2

減去一次交集。

完整解答

先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。
計算或化簡此關係式。
$P(A\cup B)=1/2+1/3-1/18$
交集已分別計入兩個概率。

所求值為 0.77777778。

檢查與易錯點：交集已分別計入兩個概率。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

公平硬幣拋兩次，列出「恰有一次正面」事件。

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。

提示 2

兩次位置不同，須使用有序結果。

完整解答

先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。
計算或化簡此關係式。
$A=\{HT,TH\}$
事件是集合，概率是數值。

{正反、反正}。

檢查與易錯點：事件是集合，概率是數值。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

有人給事件概率1+1/k。解釋為何不成立。

k=3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。

提示 2

計算前先檢查概率公理。

完整解答

先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。
計算或化簡此關係式。
$1+1/k>1$
所有事件概率須在[0,1]內。

它大於一，超出概率範圍。

檢查與易錯點：所有事件概率須在[0,1]內。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

公平轉盤有k+3個等可能標號1至k+3。求標號1的概率。

k=4

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。

提示 2

計算有利基本結果。

完整解答

先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。
計算或化簡此關係式。
$P=1/7$
等可能是題定條件，不能單憑標號推定。

所求值為 0.14285714。

檢查與易錯點：等可能是題定條件，不能單憑標號推定。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

轉盤有1至2k的等可能標號，求偶數標號概率。

k=4

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。

提示 2

有k個偶數標號。

完整解答

先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。
計算或化簡此關係式。
$P=4/8=1/2$
此事件包含多個基本結果。

所求值為 0.5。

檢查與易錯點：此事件包含多個基本結果。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

P(A)=k/(k+2)，求補事件概率。

k=4

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。

提示 2

事件及補事件分割樣本空間。

完整解答

先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。
計算或化簡此關係式。
$P(A^c)=1-4/6=2/6$
補事件以題定樣本空間為準。

所求值為 0.33333333。

檢查與易錯點：補事件以題定樣本空間為準。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。

選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

提問順序

使用「隨機事件與概率」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
改變一項假設後，原結論還成立嗎？

板書重點

運用隨機事件與概率，作有理據的結論。
事件集合：事件是樣本空間子集；概率是其數值度量。
概率規則：配合集合意義使用補事件及容斥。
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

預期想法

預期理由：事件是樣本空間子集；概率是其數值度量。
預期理由：配合集合意義使用補事件及容斥。
預期修正：互斥及獨立描述不同關係。

評核清單

1：辨識已知條件及所求。
1：選取合適定義、表示或方法。
1：推理連貫且正確。
1：檢驗條件並解釋結果。