學習・解釋・訂正

統計案例

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修第二册(A版).pdf · 9.3 · PDF 227 / 印刷頁 220

先重溫：用樣本估計總體

專題 01

統計案例

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握統計案例。

學完之後，你能解釋

運用統計案例，作有理據的結論。
連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

完整調查

定義目標、收集相容數據、分析並報告限制。

適當報告

使用匿名課堂數據，保留不確定性及排除紀錄。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「統計案例」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

自編示例資料：斜率=2、截距=1、r=1。相關本身不能證明因果。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

匿名上學交通調查有20k人，12k通勤不超過30分鐘。求樣本比例。

k=2

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

推論前先說明調查問題、母體、抽樣及測量規則。

提示 2

計入符合非嚴格門檻的人數。

完整解答

推論前先說明調查問題、母體、抽樣及測量規則。
計算或化簡此關係式。
$\hat p=24/40=0.6$
所量度為時間，不是距離。

所求值為 0.6。

檢查與易錯點：所量度為時間，不是距離。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

兩層平均通勤時間20及40分鐘，人數3k及k。求總平均。

k=2

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

推論前先說明調查問題、母體、抽樣及測量規則。

提示 2

按各層人數加權平均。

完整解答

推論前先說明調查問題、母體、抽樣及測量規則。
計算或化簡此關係式。
$\bar x=[20(6)+40(2)]/8=25$
直接平均兩個平均數會忽略不同人數。

所求值為 25。

檢查與易錯點：直接平均兩個平均數會忽略不同人數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

報告只給估計比例k/(k+2)。寫出兩項評估它所需的額外資訊。

k=2

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

推論前先說明調查問題、母體、抽樣及測量規則。

提示 2

問觀察如何選取，以及有多少份有效資料。

完整解答

推論前先說明調查問題、母體、抽樣及測量規則。
計算或化簡此關係式。
$\text{estimate} + \text{design} + \text{sample size}$
只有百分比不能顯示代表性或精確度。

抽樣方法及樣本量；目標母體及回覆率亦相關。

檢查與易錯點：只有百分比不能顯示代表性或精確度。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

匿名上學交通調查有20k人，12k通勤不超過30分鐘。求樣本比例。

k=3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

推論前先說明調查問題、母體、抽樣及測量規則。

提示 2

計入符合非嚴格門檻的人數。

完整解答

推論前先說明調查問題、母體、抽樣及測量規則。
計算或化簡此關係式。
$\hat p=36/60=0.6$
所量度為時間，不是距離。

所求值為 0.6。

檢查與易錯點：所量度為時間，不是距離。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

兩層平均通勤時間20及40分鐘，人數3k及k。求總平均。

k=3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

推論前先說明調查問題、母體、抽樣及測量規則。

提示 2

按各層人數加權平均。

完整解答

推論前先說明調查問題、母體、抽樣及測量規則。
計算或化簡此關係式。
$\bar x=[20(9)+40(3)]/12=25$
直接平均兩個平均數會忽略不同人數。

所求值為 25。

檢查與易錯點：直接平均兩個平均數會忽略不同人數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

只訪問8時前到校的同學，估計全校通勤時間時有何涵蓋問題？

n=30

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

推論前先說明調查問題、母體、抽樣及測量規則。

提示 2

比較抽樣框及目標母體。

完整解答

推論前先說明調查問題、母體、抽樣及測量規則。
計算或化簡此關係式。
$\text{sampling frame}\subsetneq\text{target population}$
在相同受限抽樣框增加回覆不能修補排除。

遲到校學生被排除，通勤時間可能有系統差異。

檢查與易錯點：在相同受限抽樣框增加回覆不能修補排除。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

通勤時間<20、20–40、>40分鐘的頻數為k、2k、k。求超過40分鐘的比例。

k=3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

推論前先說明調查問題、母體、抽樣及測量規則。

提示 2

使用相關組別及總數。

完整解答

推論前先說明調查問題、母體、抽樣及測量規則。
計算或化簡此關係式。
$p=3/12=1/4$
門檻不要求時，不應合併中間組。

所求值為 0.25。

檢查與易錯點：門檻不要求時，不應合併中間組。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

5k份回覆中2k用秒作答，但問題要求分鐘。可直接合併嗎？

k=3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

推論前先說明調查問題、母體、抽樣及測量規則。

提示 2

摘要統計前先檢查定義及單位。

完整解答

推論前先說明調查問題、母體、抽樣及測量規則。
計算或化簡此關係式。
$1\text{ minute}=60\text{ seconds}$
清理決定須有紀錄，不能默默刪去困難個案。

不能。先轉換相容單位，並標示含糊回覆。

檢查與易錯點：清理決定須有紀錄，不能默默刪去困難個案。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

調查發現通勤較長與出席率較低有關。能證明通勤造成該出席模式嗎？

n=60

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

推論前先說明調查問題、母體、抽樣及測量規則。

提示 2

區分觀察及因果聲稱。

完整解答

推論前先說明調查問題、母體、抽樣及測量規則。
計算或化簡此關係式。
$\text{association}\not\Rightarrow\text{causation}$
結論須與調查設計相稱。

不能。學校位置、交通可靠度或其他因素可能混雜關係。

檢查與易錯點：結論須與調查設計相稱。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

報告只給估計比例k/(k+2)。寫出兩項評估它所需的額外資訊。

k=3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

推論前先說明調查問題、母體、抽樣及測量規則。

提示 2

問觀察如何選取，以及有多少份有效資料。

完整解答

推論前先說明調查問題、母體、抽樣及測量規則。
計算或化簡此關係式。
$\text{estimate} + \text{design} + \text{sample size}$
只有百分比不能顯示代表性或精確度。

抽樣方法及樣本量；目標母體及回覆率亦相關。

檢查與易錯點：只有百分比不能顯示代表性或精確度。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

匿名上學交通調查有20k人，12k通勤不超過30分鐘。求樣本比例。

k=4

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

推論前先說明調查問題、母體、抽樣及測量規則。

提示 2

計入符合非嚴格門檻的人數。

完整解答

推論前先說明調查問題、母體、抽樣及測量規則。
計算或化簡此關係式。
$\hat p=48/80=0.6$
所量度為時間，不是距離。

所求值為 0.6。

檢查與易錯點：所量度為時間，不是距離。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

兩層平均通勤時間20及40分鐘，人數3k及k。求總平均。

k=4

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

推論前先說明調查問題、母體、抽樣及測量規則。

提示 2

按各層人數加權平均。

完整解答

推論前先說明調查問題、母體、抽樣及測量規則。
計算或化簡此關係式。
$\bar x=[20(12)+40(4)]/16=25$
直接平均兩個平均數會忽略不同人數。

所求值為 25。

檢查與易錯點：直接平均兩個平均數會忽略不同人數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

只訪問8時前到校的同學，估計全校通勤時間時有何涵蓋問題？

n=40

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

推論前先說明調查問題、母體、抽樣及測量規則。

提示 2

比較抽樣框及目標母體。

完整解答

推論前先說明調查問題、母體、抽樣及測量規則。
計算或化簡此關係式。
$\text{sampling frame}\subsetneq\text{target population}$
在相同受限抽樣框增加回覆不能修補排除。

遲到校學生被排除，通勤時間可能有系統差異。

檢查與易錯點：在相同受限抽樣框增加回覆不能修補排除。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

提問順序

使用「統計案例」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
改變一項假設後，原結論還成立嗎？

板書重點

運用統計案例，作有理據的結論。
完整調查：定義目標、收集相容數據、分析並報告限制。
適當報告：使用匿名課堂數據，保留不確定性及排除紀錄。
總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

預期想法

預期理由：定義目標、收集相容數據、分析並報告限制。
預期理由：使用匿名課堂數據，保留不確定性及排除紀錄。
預期修正：統計關聯本身不是因果結論。

評核清單

1：辨識已知條件及所求。
1：選取合適定義、表示或方法。
1：推理連貫且正確。
1：檢驗條件並解釋結果。