分佈估計
用頻數、組密度及樣本比例描述數據。
學習・解釋・訂正
用樣本估計總體
先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。
高一必修 第二册(A版).pdf · 9.2 · PDF 200 / 印刷頁 193
先重溫：隨機抽樣
專題 01
用樣本估計總體
透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握用樣本估計總體。
學完之後，你能解釋
- 運用用樣本估計總體，作有理據的結論。
- 連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
- 能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。
位置與離散
平均數、中位數、分位數及方差回答不同分佈問題。
預測 → 操作 → 解釋 → 遷移
先留下預測，再探索關係。
課節思考：計算前，預測「用樣本估計總體」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。
模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。
自編示例資料：斜率=2、截距=1、r=1。相關本身不能證明因果。
解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。
遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。
試一試，把思路寫下來。
每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。
20k人的樣本中5k乘公共交通。估計母體比例。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
把頻數轉成樣本比例，保留組別、單位及不確定性。
提示 2
以觀察比例作估計。
完整解答
把頻數轉成樣本比例，保留組別、單位及不確定性。
計算或化簡此關係式。
母體比例是估計值，不是精確已知。
所求值為 0.25。
檢查與易錯點：母體比例是估計值，不是精確已知。
先思考，待同學準備好再展開提示。
具代表性的樣本估計比例1/4，母體有80k人。估計相應人數。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
把頻數轉成樣本比例，保留組別、單位及不確定性。
提示 2
估計比例乘母體人數。
完整解答
把頻數轉成樣本比例，保留組別、單位及不確定性。
計算或化簡此關係式。
估計人數仍有抽樣及涵蓋不確定性。
所求值為 40。
檢查與易錯點：估計人數仍有抽樣及涵蓋不確定性。
先思考，待同學準備好再展開提示。
樣本平均數為k，再加入極端觀察值100k。中位數必須與平均數改變同樣多嗎？說明。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
把頻數轉成樣本比例，保留組別、單位及不確定性。
提示 2
比較數值權重與排序統計量。
完整解答
把頻數轉成樣本比例，保留組別、單位及不確定性。
計算或化簡此關係式。
中位數變化取決於排序數據，不能只由平均數推定。
不必。平均數使用數值大小，中位數主要由排序位置決定。
檢查與易錯點：中位數變化取決於排序數據，不能只由平均數推定。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
20k人的樣本中5k乘公共交通。估計母體比例。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
把頻數轉成樣本比例，保留組別、單位及不確定性。
提示 2
以觀察比例作估計。
完整解答
把頻數轉成樣本比例，保留組別、單位及不確定性。
計算或化簡此關係式。
母體比例是估計值，不是精確已知。
所求值為 0.25。
檢查與易錯點：母體比例是估計值，不是精確已知。
先思考，待同學準備好再展開提示。
具代表性的樣本估計比例1/4，母體有80k人。估計相應人數。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
把頻數轉成樣本比例，保留組別、單位及不確定性。
提示 2
估計比例乘母體人數。
完整解答
把頻數轉成樣本比例，保留組別、單位及不確定性。
計算或化簡此關係式。
估計人數仍有抽樣及涵蓋不確定性。
所求值為 60。
檢查與易錯點：估計人數仍有抽樣及涵蓋不確定性。
先思考，待同學準備好再展開提示。
直方圖組距[0,2k)頻數6k。求頻數密度（每單位頻數）。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
把頻數轉成樣本比例，保留組別、單位及不確定性。
提示 2
頻數除以組寬。
完整解答
把頻數轉成樣本比例，保留組別、單位及不確定性。
計算或化簡此關係式。
組寬不等時，面積才代表頻數，不能只看高度。
所求值為 3。
檢查與易錯點：組寬不等時，面積才代表頻數，不能只看高度。
先思考，待同學準備好再展開提示。
觀察值k、k+2、k+4，求樣本平均數。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
把頻數轉成樣本比例，保留組別、單位及不確定性。
提示 2
所有觀察值相加，再除以個數。
完整解答
把頻數轉成樣本比例，保留組別、單位及不確定性。
計算或化簡此關係式。
此無權重樣本每個觀察值權重相同。
所求值為 5。
檢查與易錯點：此無權重樣本每個觀察值權重相同。
先思考，待同學準備好再展開提示。
觀察值k、k+2、k+4，依題目指定分母3求方差。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
把頻數轉成樣本比例，保留組別、單位及不確定性。
提示 2
先中心化再平方，使用指定分母。
完整解答
把頻數轉成樣本比例，保留組別、單位及不確定性。
計算或化簡此關係式。
此描述方差不同於分母n−1的不偏樣本方差。
所求值為 2.66666667。
檢查與易錯點：此描述方差不同於分母n−1的不偏樣本方差。
先思考，待同學準備好再展開提示。
三個完備分類的樣本比例為1/4、1/2、p。求p。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
把頻數轉成樣本比例，保留組別、單位及不確定性。
提示 2
各分類分割整個樣本。
完整解答
把頻數轉成樣本比例，保留組別、單位及不確定性。
計算或化簡此關係式。
比例相加前須檢查分類互斥。
所求值為 0.25。
檢查與易錯點：比例相加前須檢查分類互斥。
先思考，待同學準備好再展開提示。
樣本平均數為k，再加入極端觀察值100k。中位數必須與平均數改變同樣多嗎？說明。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
把頻數轉成樣本比例，保留組別、單位及不確定性。
提示 2
比較數值權重與排序統計量。
完整解答
把頻數轉成樣本比例，保留組別、單位及不確定性。
計算或化簡此關係式。
中位數變化取決於排序數據，不能只由平均數推定。
不必。平均數使用數值大小，中位數主要由排序位置決定。
檢查與易錯點：中位數變化取決於排序數據，不能只由平均數推定。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
20k人的樣本中5k乘公共交通。估計母體比例。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
把頻數轉成樣本比例，保留組別、單位及不確定性。
提示 2
以觀察比例作估計。
完整解答
把頻數轉成樣本比例，保留組別、單位及不確定性。
計算或化簡此關係式。
母體比例是估計值，不是精確已知。
所求值為 0.25。
檢查與易錯點：母體比例是估計值，不是精確已知。
先思考，待同學準備好再展開提示。
具代表性的樣本估計比例1/4，母體有80k人。估計相應人數。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
把頻數轉成樣本比例，保留組別、單位及不確定性。
提示 2
估計比例乘母體人數。
完整解答
把頻數轉成樣本比例，保留組別、單位及不確定性。
計算或化簡此關係式。
估計人數仍有抽樣及涵蓋不確定性。
所求值為 80。
檢查與易錯點：估計人數仍有抽樣及涵蓋不確定性。
先思考，待同學準備好再展開提示。
直方圖組距[0,2k)頻數6k。求頻數密度（每單位頻數）。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
把頻數轉成樣本比例，保留組別、單位及不確定性。
提示 2
頻數除以組寬。
完整解答
把頻數轉成樣本比例，保留組別、單位及不確定性。
計算或化簡此關係式。
組寬不等時，面積才代表頻數，不能只看高度。
所求值為 3。
檢查與易錯點：組寬不等時，面積才代表頻數，不能只看高度。
先思考，待同學準備好再展開提示。
課末檢核與訂正
回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。
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教師備課與評核
提問順序
- 使用「用樣本估計總體」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
- 哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
- 改變一項假設後，原結論還成立嗎？
板書重點
- 運用用樣本估計總體，作有理據的結論。
- 分佈估計：用頻數、組密度及樣本比例描述數據。
- 位置與離散：平均數、中位數、分位數及方差回答不同分佈問題。
- 總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。
預期想法
- 預期理由：用頻數、組密度及樣本比例描述數據。
- 預期理由：平均數、中位數、分位數及方差回答不同分佈問題。
- 預期修正：樣本估計不是精確已知的母體參數。
評核清單
- 1：辨識已知條件及所求。
- 1：選取合適定義、表示或方法。
- 1：推理連貫且正確。
- 1：檢驗條件並解釋結果。