Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

隨機抽樣

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修 第二册(A版).pdf · 9.1 · PDF 180 / 印刷頁 173

專題 01

隨機抽樣

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握隨機抽樣。

學完之後，你能解釋

  • 運用隨機抽樣，作有理據的結論。
  • 連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
  • 能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

抽樣設計

簡單隨機、系統及分層程序說明如何選取單位。

誤差來源

涵蓋、無回覆及測量問題不同於隨機抽樣變異。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「隨機抽樣」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

自編示例資料：斜率=2、截距=1、r=1。相關本身不能證明因果。

自編示例資料：斜率=2、截距=1、r=1。相關本身不能證明因果。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

母體有100k名學生，簡單隨機抽樣取10k人。求每人被抽中的概率。

k=2k=2
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先辨識母體及抽樣機制，再按比例計算。
提示 2
簡單隨機抽樣要求每人機會相同。
完整解答

  1. 先辨識母體及抽樣機制，再按比例計算。

  2. 計算或化簡此關係式。

    p=20/200=0.1p=20/200=0.1

  3. 這是被抽中概率，不是會回覆調查的人數比例。

所求值為 0.1。

檢查與易錯點：這是被抽中概率，不是會回覆調查的人數比例。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

分層樣本共10k人，母體有60k初中、40k高中。按比例分配，求高中樣本數。

k=2k=2
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先辨識母體及抽樣機制，再按比例計算。
提示 2
配合該層在母體中的比例。
完整解答

  1. 先辨識母體及抽樣機制，再按比例計算。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ns=20⋅80/200=8n_s=20\cdot80/200=8

  3. 分層抽樣保留重要子群代表性。

所求值為 8。

檢查與易錯點：分層抽樣保留重要子群代表性。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

研究涵蓋全部100k名學生，但尺有+1厘米偏差。有抽樣誤差嗎？有測量偏差嗎？

k=2k=2
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先辨識母體及抽樣機制，再按比例計算。
提示 2
分清涵蓋範圍及測量方式。
完整解答

  1. 先辨識母體及抽樣機制，再按比例計算。

  2. 計算或化簡此關係式。

    census≠error-free measurement\text{census}\ne\text{error-free measurement}

  3. 普查不能消除測量、處理或無回覆問題。

選取方面沒有抽樣誤差，但仍有系統測量偏差。

檢查與易錯點：普查不能消除測量、處理或無回覆問題。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

母體有100k名學生，簡單隨機抽樣取10k人。求每人被抽中的概率。

k=3k=3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先辨識母體及抽樣機制，再按比例計算。
提示 2
簡單隨機抽樣要求每人機會相同。
完整解答

  1. 先辨識母體及抽樣機制，再按比例計算。

  2. 計算或化簡此關係式。

    p=30/300=0.1p=30/300=0.1

  3. 這是被抽中概率，不是會回覆調查的人數比例。

所求值為 0.1。

檢查與易錯點：這是被抽中概率，不是會回覆調查的人數比例。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

分層樣本共10k人，母體有60k初中、40k高中。按比例分配，求高中樣本數。

k=3k=3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先辨識母體及抽樣機制，再按比例計算。
提示 2
配合該層在母體中的比例。
完整解答

  1. 先辨識母體及抽樣機制，再按比例計算。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ns=30⋅120/300=12n_s=30\cdot120/300=12

  3. 分層抽樣保留重要子群代表性。

所求值為 12。

檢查與易錯點：分層抽樣保留重要子群代表性。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

從有序母體100k人中作系統抽樣取10k人。求抽樣間距。

k=3k=3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先辨識母體及抽樣機制，再按比例計算。
提示 2
母體人數除以樣本人數。
完整解答

  1. 先辨識母體及抽樣機制，再按比例計算。

  2. 計算或化簡此關係式。

    h=N/n=300/30=10h=N/n=300/30=10

  3. 須隨機選起點，並檢查排列是否有週期性。

所求值為 10。

檢查與易錯點：須隨機選起點，並檢查排列是否有週期性。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

自願網上投票收到20k份回覆。回覆很多能消除自選偏差嗎？

k=3k=3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先辨識母體及抽樣機制，再按比例計算。
提示 2
分清精確度與代表性。
完整解答

  1. 先辨識母體及抽樣機制，再按比例計算。

  2. 計算或化簡此關係式。

    large n⇏representative sample\text{large }n\not\Rightarrow\text{representative sample}

  3. 大型偏差樣本仍可有系統地誤導。

不能；參與可能取決於正在量度的意見。

檢查與易錯點：大型偏差樣本仍可有系統地誤導。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

抽中10k人，只有6k回覆。求回覆率。

k=3k=3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先辨識母體及抽樣機制，再按比例計算。
提示 2
分母用抽中的人，不是整個母體。
完整解答

  1. 先辨識母體及抽樣機制，再按比例計算。

  2. 計算或化簡此關係式。

    r=18/30=0.6r=18/30=0.6

  3. 回覆者與不回覆者不同時，可能有無回覆偏差。

所求值為 0.6。

檢查與易錯點：回覆者與不回覆者不同時，可能有無回覆偏差。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

從k+2人母體放回抽兩次。求兩次抽中同一人的概率。

k=3k=3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先辨識母體及抽樣機制，再按比例計算。
提示 2
把各個同人重複結果的概率相加。
完整解答

  1. 先辨識母體及抽樣機制，再按比例計算。

  2. 計算或化簡此關係式。

    P=(5)(1/5)2=1/5P=(5)\left(1/5\right)^2=1/5

  3. 此模型不同於不放回選兩個不同人。

所求值為 0.2。

檢查與易錯點：此模型不同於不放回選兩個不同人。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

研究涵蓋全部100k名學生，但尺有+1厘米偏差。有抽樣誤差嗎？有測量偏差嗎？

k=3k=3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先辨識母體及抽樣機制，再按比例計算。
提示 2
分清涵蓋範圍及測量方式。
完整解答

  1. 先辨識母體及抽樣機制，再按比例計算。

  2. 計算或化簡此關係式。

    census≠error-free measurement\text{census}\ne\text{error-free measurement}

  3. 普查不能消除測量、處理或無回覆問題。

選取方面沒有抽樣誤差，但仍有系統測量偏差。

檢查與易錯點：普查不能消除測量、處理或無回覆問題。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

母體有100k名學生，簡單隨機抽樣取10k人。求每人被抽中的概率。

k=4k=4
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先辨識母體及抽樣機制，再按比例計算。
提示 2
簡單隨機抽樣要求每人機會相同。
完整解答

  1. 先辨識母體及抽樣機制，再按比例計算。

  2. 計算或化簡此關係式。

    p=40/400=0.1p=40/400=0.1

  3. 這是被抽中概率，不是會回覆調查的人數比例。

所求值為 0.1。

檢查與易錯點：這是被抽中概率，不是會回覆調查的人數比例。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

分層樣本共10k人，母體有60k初中、40k高中。按比例分配，求高中樣本數。

k=4k=4
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先辨識母體及抽樣機制，再按比例計算。
提示 2
配合該層在母體中的比例。
完整解答

  1. 先辨識母體及抽樣機制，再按比例計算。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ns=40⋅160/400=16n_s=40\cdot160/400=16

  3. 分層抽樣保留重要子群代表性。

所求值為 16。

檢查與易錯點：分層抽樣保留重要子群代表性。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

從有序母體100k人中作系統抽樣取10k人。求抽樣間距。

k=4k=4
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先辨識母體及抽樣機制，再按比例計算。
提示 2
母體人數除以樣本人數。
完整解答

  1. 先辨識母體及抽樣機制，再按比例計算。

  2. 計算或化簡此關係式。

    h=N/n=400/40=10h=N/n=400/40=10

  3. 須隨機選起點，並檢查排列是否有週期性。

所求值為 10。

檢查與易錯點：須隨機選起點，並檢查排列是否有週期性。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 使用「隨機抽樣」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
    • 哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
    • 改變一項假設後，原結論還成立嗎？

    板書重點

    • 運用隨機抽樣，作有理據的結論。
    • 抽樣設計：簡單隨機、系統及分層程序說明如何選取單位。
    • 誤差來源：涵蓋、無回覆及測量問題不同於隨機抽樣變異。
    • 總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

    預期想法

    • 預期理由：簡單隨機、系統及分層程序說明如何選取單位。
    • 預期理由：涵蓋、無回覆及測量問題不同於隨機抽樣變異。
    • 預期修正：樣本較大不會自動消除選取偏差。

    評核清單

    • 1：辨識已知條件及所求。
    • 1：選取合適定義、表示或方法。
    • 1：推理連貫且正確。
    • 1：檢驗條件並解釋結果。

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    教材與來源說明 ↗