Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

空間向量的應用

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高二選擇性必修 第一册(A版).pdf · 1.4 · PDF 31 / 印刷頁 26

先重溫：空間向量及其座標表示

專題 01

空間向量的應用

用方向及法向量建立角度、距離及空間位置關係。

學完之後，你能解釋

  • 用方向及法向量建立角度、距離及空間位置關係。
  • 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

法向量

平面的法向量垂直於平面內所有方向。

n⋅(X−P)=0n\cdot(X-P)=0

角度與距離

直線、平面的夾角取銳角或直角；法向量須非零，距離非負。

d=∣n⋅(P−P0)∣∣n∣d=\frac{|n\cdot(P-P_0)|}{|n|}

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：預測平移平面會否改變方向，或改變它與固定點的距離。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

空間向量 v=(2,1,1)；模長=2.4495；v·(2,1,3)=8。圖像只顯示 xy 投影，不是完整空間長度。

空間向量 v=(2,1,1)；模長=2.4495；v·(2,1,3)=8。圖像只顯示 xy 投影，不是完整空間長度。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：比較具有相同法向量而常數不同的平行平面。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求兩直線銳角的餘弦。

u=(1,0,0),v=(1,2,0)u=(1,0,0), v=(1,2,0)
  • 直線、平面的夾角取銳角或直角；法向量須非零，距離非負。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
cosθ=∣u⋅v∣/(∣u∣∣v∣)cosθ=|u·v|/(|u||v|)
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    cos⁡θ=1/5\cos\theta=1/\sqrt{5}

  3. 內積取絕對值給出銳角。

所求值為 0.4472135955。

檢查與易錯點：內積取絕對值給出銳角。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

求 P 到平面的距離。

P=(3,0,0),Π:3x+4y=0P=(3,0,0),\quad \Pi:3x+4y=0
  • 直線、平面的夾角取銳角或直角；法向量須非零，距離非負。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
d=∣3xP+4yP∣/5d=|3x_P+4y_P|/5
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    d=3(3)/32+42=1.8d=3(3)/\sqrt{3^2+4^2}=1.8

  3. 須除以法向量長度，直接代入的值不是距離。

所求值為 1.8。

檢查與易錯點：須除以法向量長度，直接代入的值不是距離。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

求通過 P 且法向量為 n 的平面。

P=(1,2,4),n=(2,−1,3)P=(1,2,4),\quad n=(2,-1,3)
  • 直線、平面的夾角取銳角或直角；法向量須非零，距離非負。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
n⋅(X−P)=0n\cdot(X-P)=0
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    2(x−1)−(y−2)+3(z−4)=02(x-1)-(y-2)+3(z-4)=0

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    2x−y+3z=122x-y+3z=12

  4. 常數由通過的點決定；各係數構成法向量。

所求關係或結論如下。

2x−y+3z=122x-y+3z=12

檢查與易錯點：常數由通過的點決定；各係數構成法向量。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求兩直線銳角的餘弦。

u=(1,0,0),v=(1,5,0)u=(1,0,0), v=(1,5,0)
  • 直線、平面的夾角取銳角或直角；法向量須非零，距離非負。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
cosθ=∣u⋅v∣/(∣u∣∣v∣)cosθ=|u·v|/(|u||v|)
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    cos⁡θ=1/26\cos\theta=1/\sqrt{26}

  3. 內積取絕對值給出銳角。

所求值為 0.196116135138。

檢查與易錯點：內積取絕對值給出銳角。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求直線與平面夾角 α 的 sin α。

u=(1,0,1),Π:z=0u=(1,0,1),\quad \Pi:z=0
  • 直線、平面的夾角取銳角或直角；法向量須非零，距離非負。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
sin⁡α=∣u⋅n∣/(∣u∣∣n∣)\sin\alpha=|u\cdot n|/(|u||n|)
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    n=(0,0,1)n=(0,0,1)

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    sin⁡α=1/2\sin\alpha=1/\sqrt2

  4. 平面法向量所成角互餘，因此直線與平面夾角使用正弦。

所求值為 0.707106781187。

檢查與易錯點：平面法向量所成角互餘，因此直線與平面夾角使用正弦。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求兩平面銳角的餘弦。

n1=(1,1,0),n2=(0,1,1)n_1=(1,1,0),\quad n_2=(0,1,1)
  • 直線、平面的夾角取銳角或直角；法向量須非零，距離非負。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
cos⁡θ=∣n1⋅n2∣/(∣n1∣∣n2∣)\cos\theta=|n_1\cdot n_2|/(|n_1||n_2|)
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    n1⋅n2=1n_1\cdot n_2=1

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    cos⁡θ=1/2\cos\theta=1/2

  4. 法向量夾角決定兩平面的銳角。

所求值為 0.5。

檢查與易錯點：法向量夾角決定兩平面的銳角。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

求 P 到平面的距離。

P=(0,0,8),Π:z=2P=(0,0,8),\quad \Pi:z=2
  • 直線、平面的夾角取銳角或直角；法向量須非零，距離非負。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
d=∣zP−2∣d=|z_P-2|
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    d=∣8−2∣=6d=|8-2|=6

  3. 法向位移給出最短距離。

所求值為 6。

檢查與易錯點：法向位移給出最短距離。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求 P 到平面的距離。

P=(0,0,9),Π:z=2P=(0,0,9),\quad \Pi:z=2
  • 直線、平面的夾角取銳角或直角；法向量須非零，距離非負。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
d=∣zP−2∣d=|z_P-2|
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    d=∣9−2∣=7d=|9-2|=7

  3. 法向位移給出最短距離。

所求值為 7。

檢查與易錯點：法向位移給出最短距離。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求 P 到平面的距離。

P=(10,0,0),Π:3x+4y=0P=(10,0,0),\quad \Pi:3x+4y=0
  • 直線、平面的夾角取銳角或直角；法向量須非零，距離非負。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
d=∣3xP+4yP∣/5d=|3x_P+4y_P|/5
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    d=3(10)/32+42=6d=3(10)/\sqrt{3^2+4^2}=6

  3. 須除以法向量長度，直接代入的值不是距離。

所求值為 6。

檢查與易錯點：須除以法向量長度，直接代入的值不是距離。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

整條直線是否位於此平面？

X=(0,0,11)+s(1,−1,0),Π:x+y+z=11X=(0,0,11)+s(1,-1,0), \Pi:x+y+z=11
  • 直線、平面的夾角取銳角或直角；法向量須非零，距離非負。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
n·u=0，且起點在平面上。
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x+y+z=s−s+11=11x+y+z=s-s+11=11

  3. 方向平行，加上有一點在平面上，可證明包含關係。

所求關係或結論如下。

ℓ⊂Π\ell\subset\Pi

檢查與易錯點：方向平行，加上有一點在平面上，可證明包含關係。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

求通過 P 且法向量為 n 的平面。

P=(1,2,12),n=(2,−1,3)P=(1,2,12),\quad n=(2,-1,3)
  • 直線、平面的夾角取銳角或直角；法向量須非零，距離非負。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
n⋅(X−P)=0n\cdot(X-P)=0
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    2(x−1)−(y−2)+3(z−12)=02(x-1)-(y-2)+3(z-12)=0

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    2x−y+3z=362x-y+3z=36

  4. 常數由通過的點決定；各係數構成法向量。

所求關係或結論如下。

2x−y+3z=362x-y+3z=36

檢查與易錯點：常數由通過的點決定；各係數構成法向量。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

整條直線是否位於此平面？

X=(0,0,13)+s(1,−1,0),Π:x+y+z=13X=(0,0,13)+s(1,-1,0), \Pi:x+y+z=13
  • 直線、平面的夾角取銳角或直角；法向量須非零，距離非負。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
n·u=0，且起點在平面上。
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x+y+z=s−s+13=13x+y+z=s-s+13=13

  3. 方向平行，加上有一點在平面上，可證明包含關係。

所求關係或結論如下。

ℓ⊂Π\ell\subset\Pi

檢查與易錯點：方向平行，加上有一點在平面上，可證明包含關係。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

求通過 P 且法向量為 n 的平面。

P=(1,2,14),n=(2,−1,3)P=(1,2,14),\quad n=(2,-1,3)
  • 直線、平面的夾角取銳角或直角；法向量須非零，距離非負。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
n⋅(X−P)=0n\cdot(X-P)=0
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    2(x−1)−(y−2)+3(z−14)=02(x-1)-(y-2)+3(z-14)=0

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    2x−y+3z=422x-y+3z=42

  4. 常數由通過的點決定；各係數構成法向量。

所求關係或結論如下。

2x−y+3z=422x-y+3z=42

檢查與易錯點：常數由通過的點決定；各係數構成法向量。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    教師備課與評核

    提問順序

    • 用方向及法向量建立角度、距離及空間位置關係。
    • 「空間向量的應用」中哪一個條件不可缺少？
    • 預測平移平面會否改變方向，或改變它與固定點的距離。

    板書重點

    • 法向量：平面的法向量垂直於平面內所有方向。
      n⋅(X−P)=0n\cdot(X-P)=0
    • 角度與距離：直線、平面的夾角取銳角或直角；法向量須非零，距離非負。
      d=∣n⋅(P−P0)∣∣n∣d=\frac{|n\cdot(P-P_0)|}{|n|}

    預期想法

    • 直線與平面的夾角，與直線方向及平面法向量的夾角互餘。

    評核清單

    • 1分：選取正確表示法及條件。
    • 1分：建立中間關係式。
    • 1分：完成連貫的計算或證明。
    • 1分：解釋並檢查結論。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

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