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學習・解釋・訂正

求直線與平面夾角 α 的 sin α。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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高二選擇性必修第一册(A版).pdf · 1.4 · PDF 31 / 印刷頁 26

先重溫：空間向量及其座標表示

專題 01

空間向量的應用

用方向及法向量建立角度、距離及空間位置關係。

學完之後，你能解釋

用方向及法向量建立角度、距離及空間位置關係。
在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#獨立練習

求直線與平面夾角 α 的 sin α。

u=(1,0,1),\quad \Pi:z=0

直線、平面的夾角取銳角或直角；法向量須非零，距離非負。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

用內積連結座標與長度或角度。

提示 2

使用此中間關係式。

\sin\alpha=|u\cdot n|/(|u||n|)

完整解答

用內積連結座標與長度或角度。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$n=(0,0,1)$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$\sin\alpha=1/\sqrt2$
平面法向量所成角互餘，因此直線與平面夾角使用正弦。

所求值為 0.707106781187。

檢查與易錯點：平面法向量所成角互餘，因此直線與平面夾角使用正弦。

先思考，待同學準備好再展開提示。

教師備課與評核

提問順序

用方向及法向量建立角度、距離及空間位置關係。
「空間向量的應用」中哪一個條件不可缺少？
預測平移平面會否改變方向，或改變它與固定點的距離。

板書重點

法向量：平面的法向量垂直於平面內所有方向。
$n\cdot(X-P)=0$
角度與距離：直線、平面的夾角取銳角或直角；法向量須非零，距離非負。
$d=\frac{|n\cdot(P-P_0)|}{|n|}$

預期想法

直線與平面的夾角，與直線方向及平面法向量的夾角互餘。

評核清單

1分：選取正確表示法及條件。
1分：建立中間關係式。
1分：完成連貫的計算或證明。
1分：解釋並檢查結論。