Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

空間向量及其座標表示

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高二選擇性必修 第一册(A版).pdf · 1.3 · PDF 21 / 印刷頁 16

先重溫：空間向量及其運算空間向量基本定理

專題 01

空間向量及其座標表示

利用座標計算空間長度、角度、投影及垂直方向。

學完之後，你能解釋

  • 利用座標計算空間長度、角度、投影及垂直方向。
  • 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

座標

以終點座標減起點座標，得到位移向量。

AB→=B−A\overrightarrow{AB}=B-A

投影條件

投影方向須非零；有向純量投影可以是負數。

proj⁡uv=v⋅uu⋅uu\operatorname{proj}_{u}v=\frac{v\cdot u}{u\cdot u}u

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：預測反轉方向向量後，投影會怎樣改變。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

空間向量 v=(2,1,1)；模長=2.4495；v·(2,1,3)=8。圖像只顯示 xy 投影，不是完整空間長度。

空間向量 v=(2,1,1)；模長=2.4495；v·(2,1,3)=8。圖像只顯示 xy 投影，不是完整空間長度。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：比較 u→−u 時的投影向量及有向分量。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求 AB²。

A=(1,2,3), B=(3,5,7)A=(1,2,3),\ B=(3,5,7)
  • 投影方向須非零；有向純量投影可以是負數。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
AB2=(B−A)⋅(B−A)AB^2=(B-A)\cdot(B-A)
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    B−A=(2,3,4)B-A=(2,3,4)

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    AB2=4+9+16=29AB^2=4+9+16=29

  4. 距離使用位移向量，不是單獨的點向量。

所求值為 29。

檢查與易錯點：距離使用位移向量，不是單獨的點向量。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

求 v 在 u 方向的有向純量投影。

v=(3,2,0), u=(1,0,0)v=(3,2,0),\ u=(1,0,0)
  • 投影方向須非零；有向純量投影可以是負數。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
s=v⋅u/∣u∣s=v\cdot u/|u|
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    s=3/1=3s=3/1=3

  3. 單位座標方向會取出對應分量。

所求值為 3。

檢查與易錯點：單位座標方向會取出對應分量。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

求同時垂直於 a、b 的非零向量，且第三分量為1。

a=(1,0,4), b=(0,1,2)a=(1,0,4),\ b=(0,1,2)
  • 投影方向須非零；有向純量投影可以是負數。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
u⋅a=u⋅b=0u\cdot a=u\cdot b=0
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x+4z=0,y+2z=0x+4z=0,\quad y+2z=0

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    z=1⇒x=−4, y=−2z=1\Rightarrow x=-4,\ y=-2

  4. 兩個線性條件決定垂直方向，仍可作非零數乘。

所求關係或結論如下。

u=(−4,−2,1)u=(-4,-2,1)

檢查與易錯點：兩個線性條件決定垂直方向，仍可作非零數乘。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求 AB²。

A=(1,2,3), B=(6,5,7)A=(1,2,3),\ B=(6,5,7)
  • 投影方向須非零；有向純量投影可以是負數。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
AB2=(B−A)⋅(B−A)AB^2=(B-A)\cdot(B-A)
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    B−A=(5,3,4)B-A=(5,3,4)

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    AB2=25+9+16=50AB^2=25+9+16=50

  4. 距離使用位移向量，不是單獨的點向量。

所求值為 50。

檢查與易錯點：距離使用位移向量，不是單獨的點向量。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求 A、B 中點的 z 座標。

A=(1,2,6), B=(3,4,12)A=(1,2,6),\ B=(3,4,12)
  • 投影方向須非零；有向純量投影可以是負數。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
M=(A+B)/2M=(A+B)/2
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Mz=(6+12)/2=9M_z=(6+12)/2=9

  3. 中點公式對三個座標分別取平均。

所求值為 9。

檢查與易錯點：中點公式對三個座標分別取平均。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求 λ，使 a 與 b 垂直。

a=(1,2,3), b=(7,1,λ)a=(1,2,3),\ b=(7,1,\lambda)
  • 投影方向須非零；有向純量投影可以是負數。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
a⋅b=0a\cdot b=0
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    7+2+3λ=07+2+3\lambda=0

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    λ=−9/3\lambda=-9/3

  4. 使用內積為零，不能要求每個分量的乘積都為零。

所求值為 -3。

檢查與易錯點：使用內積為零，不能要求每個分量的乘積都為零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

求 a 與 b 夾角的 cos θ。

a=(1,1,0),b=(0,8,1)a=(1,1,0), b=(0,8,1)
  • 投影方向須非零；有向純量投影可以是負數。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
cosθ=(a⋅b)/(∣a∣∣b∣)cosθ=(a·b)/(|a||b|)
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    a⋅b=8,∣a∣=2,∣b∣=65a\cdot b=8, |a|=\sqrt2, |b|=\sqrt{65}

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    cos⁡θ=8/130\cos\theta=8/\sqrt{130}

  4. 分母須包含兩個向量長度。

所求值為 0.701646415446。

檢查與易錯點：分母須包含兩個向量長度。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求 a 與 b 夾角的 cos θ。

a=(1,1,0),b=(0,9,1)a=(1,1,0), b=(0,9,1)
  • 投影方向須非零；有向純量投影可以是負數。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
cosθ=(a⋅b)/(∣a∣∣b∣)cosθ=(a·b)/(|a||b|)
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    a⋅b=9,∣a∣=2,∣b∣=82a\cdot b=9, |a|=\sqrt2, |b|=\sqrt{82}

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    cos⁡θ=9/164\cos\theta=9/\sqrt{164}

  4. 分母須包含兩個向量長度。

所求值為 0.702781928499。

檢查與易錯點：分母須包含兩個向量長度。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求 v 在 u 方向的有向純量投影。

v=(10,2,0), u=(1,0,0)v=(10,2,0),\ u=(1,0,0)
  • 投影方向須非零；有向純量投影可以是負數。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
s=v⋅u/∣u∣s=v\cdot u/|u|
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    s=10/1=10s=10/1=10

  3. 單位座標方向會取出對應分量。

所求值為 10。

檢查與易錯點：單位座標方向會取出對應分量。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

單位方向有 cos²α=1/t²、cos²β=1/9。求 cos²γ。

t=11t=11
  • 投影方向須非零；有向純量投影可以是負數。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
cos2α+cos2β+cos2γ=1cos²α+cos²β+cos²γ=1
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    cos⁡2γ=1−1/121−1/9\cos^2\gamma=1-1/121-1/9

  3. 方向餘弦平方之和為一。

所求值為 0.880624426079。

檢查與易錯點：方向餘弦平方之和為一。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

求同時垂直於 a、b 的非零向量，且第三分量為1。

a=(1,0,12), b=(0,1,2)a=(1,0,12),\ b=(0,1,2)
  • 投影方向須非零；有向純量投影可以是負數。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
u⋅a=u⋅b=0u\cdot a=u\cdot b=0
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x+12z=0,y+2z=0x+12z=0,\quad y+2z=0

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    z=1⇒x=−12, y=−2z=1\Rightarrow x=-12,\ y=-2

  4. 兩個線性條件決定垂直方向，仍可作非零數乘。

所求關係或結論如下。

u=(−12,−2,1)u=(-12,-2,1)

檢查與易錯點：兩個線性條件決定垂直方向，仍可作非零數乘。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

單位方向有 cos²α=1/t²、cos²β=1/9。求 cos²γ。

t=13t=13
  • 投影方向須非零；有向純量投影可以是負數。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
cos2α+cos2β+cos2γ=1cos²α+cos²β+cos²γ=1
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    cos⁡2γ=1−1/169−1/9\cos^2\gamma=1-1/169-1/9

  3. 方向餘弦平方之和為一。

所求值為 0.882971729126。

檢查與易錯點：方向餘弦平方之和為一。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

求同時垂直於 a、b 的非零向量，且第三分量為1。

a=(1,0,14), b=(0,1,2)a=(1,0,14),\ b=(0,1,2)
  • 投影方向須非零；有向純量投影可以是負數。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
u⋅a=u⋅b=0u\cdot a=u\cdot b=0
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x+14z=0,y+2z=0x+14z=0,\quad y+2z=0

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    z=1⇒x=−14, y=−2z=1\Rightarrow x=-14,\ y=-2

  4. 兩個線性條件決定垂直方向，仍可作非零數乘。

所求關係或結論如下。

u=(−14,−2,1)u=(-14,-2,1)

檢查與易錯點：兩個線性條件決定垂直方向，仍可作非零數乘。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    教師備課與評核

    提問順序

    • 利用座標計算空間長度、角度、投影及垂直方向。
    • 「空間向量及其座標表示」中哪一個條件不可缺少？
    • 預測反轉方向向量後，投影會怎樣改變。

    板書重點

    • 座標：以終點座標減起點座標，得到位移向量。
      AB→=B−A\overrightarrow{AB}=B-A
    • 投影條件：投影方向須非零；有向純量投影可以是負數。
      proj⁡uv=v⋅uu⋅uu\operatorname{proj}_{u}v=\frac{v\cdot u}{u\cdot u}u

    預期想法

    • 投影向量與其有向純量分量是不同概念。

    評核清單

    • 1分：選取正確表示法及條件。
    • 1分：建立中間關係式。
    • 1分：完成連貫的計算或證明。
    • 1分：解釋並檢查結論。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

    教材與來源說明 ↗