學習・解釋・訂正

空間向量基本定理

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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先重溫：空間向量及其運算

專題 01

空間向量基本定理

辨認基底，運用向量座標的唯一性及仿射組合。

學完之後，你能解釋

辨認基底，運用向量座標的唯一性及仿射組合。
在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

基底

三個不共面的向量可唯一表示空間中的每個向量。

v=xe_1+ye_2+ze_3

獨立性與仿射點

基底必須線性獨立；用平面上的點作仿射組合時，權重之和須為一。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：三個非零向量仍可能無法描述整個空間嗎？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

空間向量 v=(2,1,1)；模長=2.4495；v·(2,1,3)=8。圖像只顯示 xy 投影，不是完整空間長度。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：構造一組相依向量，並用兩種不同方式表示同一向量。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

在標準基底中，求 e3 的係數。

v=2e_1-e_2+2e_3

基底必須線性獨立；用平面上的點作仿射組合時，權重之和須為一。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量分量及分配律。

提示 2

使用此中間關係式。

v=(x,y,z)

完整解答

使用向量分量及分配律。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$(x,y,z)=(2,-1,2)$
基底係數是相對該基底的座標。

所求值為 2。

檢查與易錯點：基底係數是相對該基底的座標。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

P=αA+βB+γC 為仿射組合，α=1/(t+1)、β=1/2。求 γ。

t=3

基底必須線性獨立；用平面上的點作仿射組合時，權重之和須為一。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

使用此中間關係式。

α+β+γ=1

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$\gamma=1-1/4-1/2$
仿射權重之和為一。

所求值為 0.25。

檢查與易錯點：仿射權重之和為一。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

說明這三個向量為何不能給出唯一係數。

e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(4,1,0)

基底必須線性獨立；用平面上的點作仿射組合時，權重之和須為一。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量分量及分配律。

提示 2

使用此中間關係式。

e_3=te_1+e_2

完整解答

使用向量分量及分配律。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$(4,1,0)=4(1,0,0)+(0,1,0)$
相依的三向量容許不止一種表示。

所求關係或結論如下。

e_3=4e_1+e_2

檢查與易錯點：相依的三向量容許不止一種表示。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

在標準基底中，求 e3 的係數。

v=2e_1-e_2+5e_3

基底必須線性獨立；用平面上的點作仿射組合時，權重之和須為一。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量分量及分配律。

提示 2

使用此中間關係式。

v=(x,y,z)

完整解答

使用向量分量及分配律。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$(x,y,z)=(2,-1,5)$
基底係數是相對該基底的座標。

所求值為 5。

檢查與易錯點：基底係數是相對該基底的座標。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

當 e1=(1,0,0)、e2=(1,1,0)、e3=(0,0,1) 時，求 v 的 e1 係數。

v=(8,2,3)

基底必須線性獨立；用平面上的點作仿射組合時，權重之和須為一。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量分量及分配律。

提示 2

使用此中間關係式。

(x+y,y,z)=v

完整解答

使用向量分量及分配律。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$y=2,\quad z=3,\quad x=8-2=6$
幾何向量不變，換基底仍會改變其係數。

所求值為 6。

檢查與易錯點：幾何向量不變，換基底仍會改變其係數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

判斷 e1、e2、e3 是否為基底。

e_1=(1,0,0),\ e_2=(0,1,0),\ e_3=(7,2,0)

基底必須線性獨立；用平面上的點作仿射組合時，權重之和須為一。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量分量及分配律。

提示 2

所有第三分量均為零。

完整解答

使用向量分量及分配律。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$e_3=7e_1+2e_2$
它們只張成一個平面，不能表示 (0,0,1)。

所求關係或結論如下。

e_3=7e_1+2e_2

檢查與易錯點：它們只張成一個平面，不能表示 (0,0,1)。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

求 λ，使第三向量位於前兩向量張成的平面。

a=(1,0,0),\ b=(0,1,0),\ c=(8,2,\lambda)

基底必須線性獨立；用平面上的點作仿射組合時，權重之和須為一。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量分量及分配律。

提示 2

使用此中間關係式。

c=xa+yb

完整解答

使用向量分量及分配律。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$c=(x,y,0)\Rightarrow\lambda=0$
a、b 張成的平面之第三座標為零。

所求值為 0。

檢查與易錯點：a、b 張成的平面之第三座標為零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求 λ，使第三向量位於前兩向量張成的平面。

a=(1,0,0),\ b=(0,1,0),\ c=(9,2,\lambda)

基底必須線性獨立；用平面上的點作仿射組合時，權重之和須為一。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量分量及分配律。

提示 2

使用此中間關係式。

c=xa+yb

完整解答

使用向量分量及分配律。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$c=(x,y,0)\Rightarrow\lambda=0$
a、b 張成的平面之第三座標為零。

所求值為 0。

檢查與易錯點：a、b 張成的平面之第三座標為零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

P=αA+βB+γC 為仿射組合，α=1/(t+1)、β=1/2。求 γ。

t=10

基底必須線性獨立；用平面上的點作仿射組合時，權重之和須為一。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

使用此中間關係式。

α+β+γ=1

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$\gamma=1-1/11-1/2$
仿射權重之和為一。

所求值為 0.409090909091。

檢查與易錯點：仿射權重之和為一。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

用所給基底表示 v。

e_1=(1,1,0),\ e_2=(1,-1,0),\ e_3=(0,0,1),\ v=(22,2,3)

基底必須線性獨立；用平面上的點作仿射組合時，權重之和須為一。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量分量及分配律。

提示 2

使用此中間關係式。

x+y=2t,\quad x-y=2

完整解答

使用向量分量及分配律。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$2x=24\Rightarrow x=12$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$y=10,\quad z=3$
聯立分量方程求解；獨立性保證表示唯一。

所求關係或結論如下。

v=12e_1+10e_2+3e_3

檢查與易錯點：聯立分量方程求解；獨立性保證表示唯一。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

說明這三個向量為何不能給出唯一係數。

e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(12,1,0)

基底必須線性獨立；用平面上的點作仿射組合時，權重之和須為一。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量分量及分配律。

提示 2

使用此中間關係式。

e_3=te_1+e_2

完整解答

使用向量分量及分配律。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$(12,1,0)=12(1,0,0)+(0,1,0)$
相依的三向量容許不止一種表示。

所求關係或結論如下。

e_3=12e_1+e_2

檢查與易錯點：相依的三向量容許不止一種表示。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

用所給基底表示 v。

e_1=(1,1,0),\ e_2=(1,-1,0),\ e_3=(0,0,1),\ v=(26,2,3)

基底必須線性獨立；用平面上的點作仿射組合時，權重之和須為一。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量分量及分配律。

提示 2

使用此中間關係式。

x+y=2t,\quad x-y=2

完整解答

使用向量分量及分配律。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$2x=28\Rightarrow x=14$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$y=12,\quad z=3$
聯立分量方程求解；獨立性保證表示唯一。

所求關係或結論如下。

v=14e_1+12e_2+3e_3

檢查與易錯點：聯立分量方程求解；獨立性保證表示唯一。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

說明這三個向量為何不能給出唯一係數。

e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(14,1,0)

基底必須線性獨立；用平面上的點作仿射組合時，權重之和須為一。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量分量及分配律。

提示 2

使用此中間關係式。

e_3=te_1+e_2

完整解答

使用向量分量及分配律。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$(14,1,0)=14(1,0,0)+(0,1,0)$
相依的三向量容許不止一種表示。

所求關係或結論如下。

e_3=14e_1+e_2

檢查與易錯點：相依的三向量容許不止一種表示。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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教師備課與評核

提問順序

辨認基底，運用向量座標的唯一性及仿射組合。
「空間向量基本定理」中哪一個條件不可缺少？
三個非零向量仍可能無法描述整個空間嗎？

板書重點

基底：三個不共面的向量可唯一表示空間中的每個向量。
$v=xe_1+ye_2+ze_3$
獨立性與仿射點：基底必須線性獨立；用平面上的點作仿射組合時，權重之和須為一。

預期想法

不是任意三個向量都能組成基底。

評核清單

1分：選取正確表示法及條件。
1分：建立中間關係式。
1分：完成連貫的計算或證明。
1分：解釋並檢查結論。