Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

空間向量及其運算

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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先重溫：平面向量的運算

專題 01

空間向量及其運算

對空間向量作加法、數乘及內積，區分純量與向量結果。

學完之後，你能解釋

  • 對空間向量作加法、數乘及內積，區分純量與向量結果。
  • 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

運算

加法及數乘逐一作用於各分量。

a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)a+b=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)

角度條件

角度公式須用兩個非零向量；內積的結果為純量。

cos⁡θ=a⋅b∣a∣∣b∣\cos\theta=\frac{a\cdot b}{|a||b|}

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：預測哪些變化會改變長度而保留方向。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

空間向量 v=(2,1,1)；模長=2.4495；v·(2,1,3)=8。圖像只顯示 xy 投影，不是完整空間長度。

空間向量 v=(2,1,1)；模長=2.4495；v·(2,1,3)=8。圖像只顯示 xy 投影，不是完整空間長度。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：比較正數、負數及零的數乘。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求 a+b 的第一分量。

a=(2,2,−1),b=(3,−2,4)a=(2,2,-1),\quad b=(3,-2,4)
  • 角度公式須用兩個非零向量；內積的結果為純量。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用向量分量及分配律。
提示 2
使用此中間關係式。
(a+b)1=a1+b1(a+b)_1=a_1+b_1
完整解答

  1. 使用向量分量及分配律。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    (a+b)=(5,0,3)(a+b)=(5,0,3)

  3. 其他分量相消不影響第一分量。

所求值為 5。

檢查與易錯點：其他分量相消不影響第一分量。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

求 a 與 b 夾角的 cos θ。

a=(3,0,0),b=(3,3,0)a=(3,0,0),\quad b=(3,3,0)
  • 角度公式須用兩個非零向量；內積的結果為純量。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
cos⁡θ=(a⋅b)/(∣a∣∣b∣)\cos\theta=(a\cdot b)/(|a||b|)
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    a⋅b=9,∣a∣=3,∣b∣=32a\cdot b=9,\quad |a|=3,\quad |b|=3\sqrt2

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    cos⁡θ=1/2\cos\theta=1/\sqrt2

  4. 共同的正比例因子會在角度公式中約去。

所求值為 0.707106781187。

檢查與易錯點：共同的正比例因子會在角度公式中約去。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

三條互相垂直的邊長為 t、3、4。求體對角線長度平方。

t=4t=4
  • 角度公式須用兩個非零向量；內積的結果為純量。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
∣u+v+w∣2=∣u∣2+∣v∣2+∣w∣2|u+v+w|^2=|u|^2+|v|^2+|w|^2
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    u⋅v=u⋅w=v⋅w=0u\cdot v=u\cdot w=v\cdot w=0

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    d2=42+32+42=41d^2=4^2+3^2+4^2=41

  4. 互相垂直使所有交叉項為零。

所求值為 41。

檢查與易錯點：互相垂直使所有交叉項為零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求 a+b 的第一分量。

a=(5,2,−1),b=(3,−2,4)a=(5,2,-1),\quad b=(3,-2,4)
  • 角度公式須用兩個非零向量；內積的結果為純量。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用向量分量及分配律。
提示 2
使用此中間關係式。
(a+b)1=a1+b1(a+b)_1=a_1+b_1
完整解答

  1. 使用向量分量及分配律。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    (a+b)=(8,0,3)(a+b)=(8,0,3)

  3. 其他分量相消不影響第一分量。

所求值為 8。

檢查與易錯點：其他分量相消不影響第一分量。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求 2a−3b 的第三分量。

a=(1,6,−2),b=(2,0,6)a=(1,6,-2),\quad b=(2,0,6)
  • 角度公式須用兩個非零向量；內積的結果為純量。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用向量分量及分配律。
提示 2
使用此中間關係式。
(2a−3b)3=2a3−3b3(2a-3b)_3=2a_3-3b_3
完整解答

  1. 使用向量分量及分配律。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    2(−2)−3(6)=−222(-2)-3(6)=-22

  3. 先對整個向量數乘，再相減。

所求值為 -22。

檢查與易錯點：先對整個向量數乘，再相減。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求 a 的長度平方。

a=(7,2,3)a=(7,2,3)
  • 角度公式須用兩個非零向量；內積的結果為純量。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
∣a∣2=a⋅a|a|^2=a\cdot a
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    ∣a∣2=72+22+32=62|a|^2=7^2+2^2+3^2=62

  3. 長度平方等於各分量平方之和。

所求值為 62。

檢查與易錯點：長度平方等於各分量平方之和。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

計算 a·b。

a=(8,1,2),b=(2,−3,1)a=(8,1,2),\quad b=(2,-3,1)
  • 角度公式須用兩個非零向量；內積的結果為純量。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    a⋅b=2(8)−3+2=15a\cdot b=2(8)-3+2=15

  3. 內積是帶正負號的純量，不是向量。

所求值為 15。

檢查與易錯點：內積是帶正負號的純量，不是向量。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

計算 a·b。

a=(9,1,2),b=(2,−3,1)a=(9,1,2),\quad b=(2,-3,1)
  • 角度公式須用兩個非零向量；內積的結果為純量。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    a⋅b=2(9)−3+2=17a\cdot b=2(9)-3+2=17

  3. 內積是帶正負號的純量，不是向量。

所求值為 17。

檢查與易錯點：內積是帶正負號的純量，不是向量。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求 a 與 b 夾角的 cos θ。

a=(10,0,0),b=(10,10,0)a=(10,0,0),\quad b=(10,10,0)
  • 角度公式須用兩個非零向量；內積的結果為純量。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
cos⁡θ=(a⋅b)/(∣a∣∣b∣)\cos\theta=(a\cdot b)/(|a||b|)
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    a⋅b=100,∣a∣=10,∣b∣=102a\cdot b=100,\quad |a|=10,\quad |b|=10\sqrt2

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    cos⁡θ=1/2\cos\theta=1/\sqrt2

  4. 共同的正比例因子會在角度公式中約去。

所求值為 0.707106781187。

檢查與易錯點：共同的正比例因子會在角度公式中約去。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

a 與 b 是否平行？說明理由。

a=(1,2,11),b=(2,4,22)a=(1,2,11),\quad b=(2,4,22)
  • 角度公式須用兩個非零向量；內積的結果為純量。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用向量分量及分配律。
提示 2
使用此中間關係式。
b=λab=\lambda a
完整解答

  1. 使用向量分量及分配律。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    (2,4,22)=2(1,2,11)(2,4,22)=2(1,2,11)

  3. 所有分量均有相同的數乘因子。

所求關係或結論如下。

b=2ab=2a

檢查與易錯點：所有分量均有相同的數乘因子。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

三條互相垂直的邊長為 t、3、4。求體對角線長度平方。

t=12t=12
  • 角度公式須用兩個非零向量；內積的結果為純量。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
∣u+v+w∣2=∣u∣2+∣v∣2+∣w∣2|u+v+w|^2=|u|^2+|v|^2+|w|^2
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    u⋅v=u⋅w=v⋅w=0u\cdot v=u\cdot w=v\cdot w=0

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    d2=122+32+42=169d^2=12^2+3^2+4^2=169

  4. 互相垂直使所有交叉項為零。

所求值為 169。

檢查與易錯點：互相垂直使所有交叉項為零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

a 與 b 是否平行？說明理由。

a=(1,2,13),b=(2,4,26)a=(1,2,13),\quad b=(2,4,26)
  • 角度公式須用兩個非零向量；內積的結果為純量。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用向量分量及分配律。
提示 2
使用此中間關係式。
b=λab=\lambda a
完整解答

  1. 使用向量分量及分配律。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    (2,4,26)=2(1,2,13)(2,4,26)=2(1,2,13)

  3. 所有分量均有相同的數乘因子。

所求關係或結論如下。

b=2ab=2a

檢查與易錯點：所有分量均有相同的數乘因子。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

三條互相垂直的邊長為 t、3、4。求體對角線長度平方。

t=14t=14
  • 角度公式須用兩個非零向量；內積的結果為純量。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用內積連結座標與長度或角度。
提示 2
使用此中間關係式。
∣u+v+w∣2=∣u∣2+∣v∣2+∣w∣2|u+v+w|^2=|u|^2+|v|^2+|w|^2
完整解答

  1. 用內積連結座標與長度或角度。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    u⋅v=u⋅w=v⋅w=0u\cdot v=u\cdot w=v\cdot w=0

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    d2=142+32+42=221d^2=14^2+3^2+4^2=221

  4. 互相垂直使所有交叉項為零。

所求值為 221。

檢查與易錯點：互相垂直使所有交叉項為零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 對空間向量作加法、數乘及內積，區分純量與向量結果。
    • 「空間向量及其運算」中哪一個條件不可缺少？
    • 預測哪些變化會改變長度而保留方向。

    板書重點

    • 運算：加法及數乘逐一作用於各分量。
      a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)a+b=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)
    • 角度條件：角度公式須用兩個非零向量；內積的結果為純量。
      cos⁡θ=a⋅b∣a∣∣b∣\cos\theta=\frac{a\cdot b}{|a||b|}

    預期想法

    • 內積為零只有在兩向量非零時才能表示方向垂直。

    評核清單

    • 1分：選取正確表示法及條件。
    • 1分：建立中間關係式。
    • 1分：完成連貫的計算或證明。
    • 1分：解釋並檢查結論。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

    教材與來源說明 ↗