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學習・解釋・訂正

求 a 與 b 夾角的 cos θ。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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高二選擇性必修第一册(A版).pdf · 1.1 · PDF 7 / 印刷頁 2

先重溫：平面向量的運算

專題 01

空間向量及其運算

對空間向量作加法、數乘及內積，區分純量與向量結果。

學完之後，你能解釋

對空間向量作加法、數乘及內積，區分純量與向量結果。
在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 鞏固#獨立練習

求 a 與 b 夾角的 cos θ。

a=(10,0,0),\quad b=(10,10,0)

角度公式須用兩個非零向量；內積的結果為純量。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

用內積連結座標與長度或角度。

提示 2

使用此中間關係式。

\cos\theta=(a\cdot b)/(|a||b|)

完整解答

用內積連結座標與長度或角度。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$a\cdot b=100,\quad |a|=10,\quad |b|=10\sqrt2$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$\cos\theta=1/\sqrt2$
共同的正比例因子會在角度公式中約去。

所求值為 0.707106781187。

檢查與易錯點：共同的正比例因子會在角度公式中約去。

先思考，待同學準備好再展開提示。

教師備課與評核

提問順序

對空間向量作加法、數乘及內積，區分純量與向量結果。
「空間向量及其運算」中哪一個條件不可缺少？
預測哪些變化會改變長度而保留方向。

板書重點

運算：加法及數乘逐一作用於各分量。
$a+b=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$
角度條件：角度公式須用兩個非零向量；內積的結果為純量。
$\cos\theta=\frac{a\cdot b}{|a||b|}$

預期想法

內積為零只有在兩向量非零時才能表示方向垂直。

評核清單

1分：選取正確表示法及條件。
1分：建立中間關係式。
1分：完成連貫的計算或證明。
1分：解釋並檢查結論。