學習・解釋・訂正

平面向量的運算

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修第二册(A版).pdf · 6.2 · PDF 14 / 印刷頁 7

先重溫：平面向量的概念

專題 01

平面向量的運算

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握平面向量的運算。

學完之後，你能解釋

連結平面向量的運算的幾何與代數表示。
連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

相加與數乘

以三角形法則合併位移，以數的絕對值伸縮長度。

數量積

數量積是衡量方向相合程度的標量。

\mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「平面向量的運算」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

v=(2,1)；模長=2.2361；v·(2,1)=5。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求 a+b 的 x 坐標。

\mathbf a=(2,2),\quad\mathbf b=(3,-1)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量運算法則，並區分向量與標量。

提示 2

把對應坐標相加。

完整解答

使用向量運算法則，並區分向量與標量。
計算或化簡此關係式。
$\mathbf a+\mathbf b=(5,1)$
向量相加逐分量合併位移。

所求值為 5。

檢查與易錯點：向量相加逐分量合併位移。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

計算數量積。

\mathbf a=(2,2),\quad\mathbf b=(3,2)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量運算法則，並區分向量與標量。

提示 2

對應坐標相乘後相加。

完整解答

使用向量運算法則，並區分向量與標量。
計算或化簡此關係式。
$\mathbf a\cdot\mathbf b=3(2)+2(2)=10$
結果為標量，不是向量。

所求值為 10。

檢查與易錯點：結果為標量，不是向量。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

數量積能否寫成結合律 (a·b)·c=a·(b·c)？解釋類型問題。

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量運算法則，並區分向量與標量。

提示 2

先辨識括號內結果的類型。

完整解答

使用向量運算法則，並區分向量與標量。
計算或化簡此關係式。
$\mathbf a\cdot\mathbf b\in\mathbb R$
數乘與向量數量積是不同運算。

不能：a·b 是標量，該式的第二次向量數量積沒有定義。

檢查與易錯點：數乘與向量數量積是不同運算。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求 a+b 的 x 坐標。

\mathbf a=(3,2),\quad\mathbf b=(3,-1)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量運算法則，並區分向量與標量。

提示 2

把對應坐標相加。

完整解答

使用向量運算法則，並區分向量與標量。
計算或化簡此關係式。
$\mathbf a+\mathbf b=(6,1)$
向量相加逐分量合併位移。

所求值為 6。

檢查與易錯點：向量相加逐分量合併位移。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

計算數量積。

\mathbf a=(3,2),\quad\mathbf b=(3,3)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量運算法則，並區分向量與標量。

提示 2

對應坐標相乘後相加。

完整解答

使用向量運算法則，並區分向量與標量。
計算或化簡此關係式。
$\mathbf a\cdot\mathbf b=3(3)+2(3)=15$
結果為標量，不是向量。

所求值為 15。

檢查與易錯點：結果為標量，不是向量。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求數乘後的模。

|\mathbf a|=3,\quad|-3\mathbf a|

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量運算法則，並區分向量與標量。

提示 2

乘數取絕對值。

完整解答

使用向量運算法則，並區分向量與標量。
計算或化簡此關係式。
$|-3\mathbf a|=|-3||\mathbf a|=9$
負號反轉方向，但不會使長度為負。

所求值為 9。

檢查與易錯點：負號反轉方向，但不會使長度為負。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

用三角形法則化簡。

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量運算法則，並區分向量與標量。

提示 2

沿封閉路徑追蹤位移。

完整解答

使用向量運算法則，並區分向量與標量。
計算或化簡此關係式。
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC};\quad\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\mathbf0$
回到起點表示總位移為零。

零向量。

檢查與易錯點：回到起點表示總位移為零。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求兩個非零向量的夾角，單位為度。

\mathbf a=(3,0),\quad\mathbf b=(0,4)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量運算法則，並區分向量與標量。

提示 2

非零向量數量積零表示垂直。

完整解答

使用向量運算法則，並區分向量與標量。
計算或化簡此關係式。
$\mathbf a\cdot\mathbf b=0\Rightarrow\cos\theta=0$
定義夾角要求兩向量非零。

所求值為 90。

檢查與易錯點：定義夾角要求兩向量非零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

展開模的平方並解釋交叉項。

|\mathbf a+\mathbf b|^2

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量運算法則，並區分向量與標量。

提示 2

使用數量積的分配律。

完整解答

使用向量運算法則，並區分向量與標量。
計算或化簡此關係式。
$(\mathbf a+\mathbf b)\cdot(\mathbf a+\mathbf b)=|\mathbf a|^2+2\mathbf a\cdot\mathbf b+|\mathbf b|^2$
交叉項消失當且僅當數量積為零；亦包括零向量情況，但不為零向量指定夾角。

|a|²+2a·b+|b|²。

檢查與易錯點：交叉項消失當且僅當數量積為零；亦包括零向量情況，但不為零向量指定夾角。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

垂直向量長度為 3、4，比較 |a+b| 與 |a|+|b|。

\mathbf a\perp\mathbf b,\quad|\mathbf a|=3,\ |\mathbf b|=4

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

垂直向量的交叉項為零。

提示 2

比較相加後的模與模之和。

完整解答

垂直向量的交叉項為零。
計算或化簡此關係式。
$|\mathbf a+\mathbf b|^2=9+16=25;\quad|\mathbf a|+|\mathbf b|=7$
三角不等式可為嚴格不等式。

5<7。

檢查與易錯點：三角不等式可為嚴格不等式。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

求 a+b 的 x 坐標。

\mathbf a=(4,2),\quad\mathbf b=(3,-1)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量運算法則，並區分向量與標量。

提示 2

把對應坐標相加。

完整解答

使用向量運算法則，並區分向量與標量。
計算或化簡此關係式。
$\mathbf a+\mathbf b=(7,1)$
向量相加逐分量合併位移。

所求值為 7。

檢查與易錯點：向量相加逐分量合併位移。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

計算數量積。

\mathbf a=(4,2),\quad\mathbf b=(3,4)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量運算法則，並區分向量與標量。

提示 2

對應坐標相乘後相加。

完整解答

使用向量運算法則，並區分向量與標量。
計算或化簡此關係式。
$\mathbf a\cdot\mathbf b=3(4)+2(4)=20$
結果為標量，不是向量。

所求值為 20。

檢查與易錯點：結果為標量，不是向量。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

求數乘後的模。

|\mathbf a|=4,\quad|-3\mathbf a|

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量運算法則，並區分向量與標量。

提示 2

乘數取絕對值。

完整解答

使用向量運算法則，並區分向量與標量。
計算或化簡此關係式。
$|-3\mathbf a|=|-3||\mathbf a|=12$
負號反轉方向，但不會使長度為負。

所求值為 12。

檢查與易錯點：負號反轉方向，但不會使長度為負。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。

選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

提問順序

使用「平面向量的運算」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
改變一項假設後，原結論還成立嗎？

板書重點

連結平面向量的運算的幾何與代數表示。
相加與數乘：以三角形法則合併位移，以數的絕對值伸縮長度。
數量積：數量積是衡量方向相合程度的標量。
$\mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta$
總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

預期想法

預期理由：以三角形法則合併位移，以數的絕對值伸縮長度。
預期理由：數量積是衡量方向相合程度的標量。
預期修正：數量積與數乘的類型不同。

評核清單

1：辨識已知條件及所求。
1：選取合適定義、表示或方法。
1：推理連貫且正確。
1：檢驗條件並解釋結果。