學習・解釋・訂正

平面向量的概念

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修第二册(A版).pdf · 6.1 · PDF 9 / 印刷頁 2

先重溫：三角恆等變換

專題 01

平面向量的概念

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握平面向量的概念。

學完之後，你能解釋

連結平面向量的概念的幾何與代數表示。
連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

模與方向

非零向量有長度及方向，不取決於繪畫位置。

零與單位向量

零向量模零；單位向量模一。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「平面向量的概念」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

v=(2,1)；模長=2.2361；v·(2,1)=5。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求向量的模。

\mathbf a=(6,8)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

分清長度、方向及位置，以位移比較向量。

提示 2

用坐標空間中到原點的距離。

完整解答

分清長度、方向及位置，以位移比較向量。
計算或化簡此關係式。
$|\mathbf a|=\sqrt{(6)^2+(8)^2}=10$
模是非負標量。

所求值為 10。

檢查與易錯點：模是非負標量。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

求由 A 到 B 的位移向量。

A=(2,1),\quad B=(5,5)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

分清長度、方向及位置，以位移比較向量。

提示 2

終點坐標減起點坐標。

完整解答

分清長度、方向及位置，以位移比較向量。
計算或化簡此關係式。
$\overrightarrow{AB}=(5-2,5-1)=(3,4)$
交換端點會使向量變號。

(3,4)。

檢查與易錯點：交換端點會使向量變號。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

行人先向東走 2 米，再向西走 2 米，求位移的模。

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

分清長度、方向及位置，以位移比較向量。

提示 2

位移只取決於起點終點。

完整解答

分清長度、方向及位置，以位移比較向量。
計算或化簡此關係式。
$(2,0)+(-2,0)=(0,0)$
路程為 4 米，位移卻為零。

所求值為 0。

檢查與易錯點：路程為 4 米，位移卻為零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求向量的模。

\mathbf a=(9,12)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

分清長度、方向及位置，以位移比較向量。

提示 2

用坐標空間中到原點的距離。

完整解答

分清長度、方向及位置，以位移比較向量。
計算或化簡此關係式。
$|\mathbf a|=\sqrt{(9)^2+(12)^2}=15$
模是非負標量。

所求值為 15。

檢查與易錯點：模是非負標量。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求由 A 到 B 的位移向量。

A=(3,1),\quad B=(6,5)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

分清長度、方向及位置，以位移比較向量。

提示 2

終點坐標減起點坐標。

完整解答

分清長度、方向及位置，以位移比較向量。
計算或化簡此關係式。
$\overrightarrow{AB}=(6-3,5-1)=(3,4)$
交換端點會使向量變號。

(3,4)。

檢查與易錯點：交換端點會使向量變號。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

模相等能否保證向量相等？給出反例。

|\mathbf a|=|\mathbf b|=3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

分清長度、方向及位置，以位移比較向量。

提示 2

相等要求長度與方向均相同。

完整解答

分清長度、方向及位置，以位移比較向量。
計算或化簡此關係式。
$|(3,0)|=|(0,3)|=3$
兩個非零垂直向量不可能相等。

不能：(3,0) 與 (0,3) 方向不同。

檢查與易錯點：兩個非零垂直向量不可能相等。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

給出同方向的單位向量。

\mathbf a=(9,12)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

分清長度、方向及位置，以位移比較向量。

提示 2

除以正的模。

完整解答

分清長度、方向及位置，以位移比較向量。
計算或化簡此關係式。
$\frac{\mathbf a}{|\mathbf a|}=(3/5,4/5)$
零向量不能用此方式單位化。

(3/5,4/5)。

檢查與易錯點：零向量不能用此方式單位化。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

解釋零向量有沒有唯一方向。

\mathbf0

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

分清長度、方向及位置，以位移比較向量。

提示 2

方向需要非零位移。

完整解答

分清長度、方向及位置，以位移比較向量。
計算或化簡此關係式。
$|\mathbf0|=0$
平行關係的約定不會令零向量有實際方向。

其模為零，但沒有唯一決定的方向。

檢查與易錯點：平行關係的約定不會令零向量有實際方向。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求相反向量。

\mathbf a=(3,-5)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

分清長度、方向及位置，以位移比較向量。

提示 2

兩坐標均取相反數。

完整解答

分清長度、方向及位置，以位移比較向量。
計算或化簡此關係式。
$-\mathbf a=(-3,5);\quad\mathbf a+(-\mathbf a)=\mathbf0$
相反向量模相同而方向相反。

(−3,5)。

檢查與易錯點：相反向量模相同而方向相反。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

行人先向東走 3 米，再向西走 3 米，求位移的模。

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

分清長度、方向及位置，以位移比較向量。

提示 2

位移只取決於起點終點。

完整解答

分清長度、方向及位置，以位移比較向量。
計算或化簡此關係式。
$(3,0)+(-3,0)=(0,0)$
路程為 6 米，位移卻為零。

所求值為 0。

檢查與易錯點：路程為 6 米，位移卻為零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

求向量的模。

\mathbf a=(12,16)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

分清長度、方向及位置，以位移比較向量。

提示 2

用坐標空間中到原點的距離。

完整解答

分清長度、方向及位置，以位移比較向量。
計算或化簡此關係式。
$|\mathbf a|=\sqrt{(12)^2+(16)^2}=20$
模是非負標量。

所求值為 20。

檢查與易錯點：模是非負標量。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

求由 A 到 B 的位移向量。

A=(4,1),\quad B=(7,5)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

分清長度、方向及位置，以位移比較向量。

提示 2

終點坐標減起點坐標。

完整解答

分清長度、方向及位置，以位移比較向量。
計算或化簡此關係式。
$\overrightarrow{AB}=(7-4,5-1)=(3,4)$
交換端點會使向量變號。

(3,4)。

檢查與易錯點：交換端點會使向量變號。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

模相等能否保證向量相等？給出反例。

|\mathbf a|=|\mathbf b|=4

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

分清長度、方向及位置，以位移比較向量。

提示 2

相等要求長度與方向均相同。

完整解答

分清長度、方向及位置，以位移比較向量。
計算或化簡此關係式。
$|(4,0)|=|(0,4)|=4$
兩個非零垂直向量不可能相等。

不能：(4,0) 與 (0,4) 方向不同。

檢查與易錯點：兩個非零垂直向量不可能相等。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。

選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

提問順序

使用「平面向量的概念」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
改變一項假設後，原結論還成立嗎？

板書重點

連結平面向量的概念的幾何與代數表示。
模與方向：非零向量有長度及方向，不取決於繪畫位置。
零與單位向量：零向量模零；單位向量模一。
總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

預期想法

預期理由：非零向量有長度及方向，不取決於繪畫位置。
預期理由：零向量模零；單位向量模一。
預期修正：長度相等不表示向量相等。

評核清單

1：辨識已知條件及所求。
1：選取合適定義、表示或方法。
1：推理連貫且正確。
1：檢驗條件並解釋結果。