學習・解釋・訂正

三角恆等變換

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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先重溫：三角函數的圖像與性質

專題 01

三角恆等變換

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握三角恆等變換。

學完之後，你能解釋

運用三角恆等變換，並明示角量單位及定義域。
連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

和角

和角公式須配對正弦與餘弦的乘積。

\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b

等價形式

選與已知資料相符的倍角或半角形式。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「三角恆等變換」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

θ+φ=45° = 0.7854 弧度；sin=0.7071，cos=0.7071。圓的半徑為 1。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

α 為銳角，求 sin 2α。

\sin\alpha=3/5

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

選與結構相符的恆等式，保留符號並檢查分母。

提示 2

先確定正的餘弦。

完整解答

選與結構相符的恆等式，保留符號並檢查分母。
計算或化簡此關係式。
$\cos\alpha=4/5;\quad\sin2\alpha=2(3/5)(4/5)=24/25$
銳角條件決定正負號。

所求值為 0.96。

檢查與易錯點：銳角條件決定正負號。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

由所給正弦求 cos 2α。

\sin\alpha=5/13

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

選與結構相符的恆等式，保留符號並檢查分母。

提示 2

用只含正弦的倍角形式。

完整解答

選與結構相符的恆等式，保留符號並檢查分母。
計算或化簡此關係式。
$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-50/169=119/169$
此恆等式不須知道餘弦正負。

所求值為 0.70414201。

檢查與易錯點：此恆等式不須知道餘弦正負。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

證明恆等式並指出定義域限制。

\frac{1-\cos2x}{\sin2x}=\tan x

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

選與結構相符的恆等式，保留符號並檢查分母。

提示 2

同時用兩個倍角公式。

完整解答

選與結構相符的恆等式，保留符號並檢查分母。
計算或化簡此關係式。
$\frac{2\sin^2x}{2\sin x\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}$
約分須保留原分式的不允許值。

在 sin 2x≠0 處成立。

檢查與易錯點：約分須保留原分式的不允許值。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

α 為銳角且 sin α=5/13，求 sin 2α。

\sin\alpha=5/13

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

由象限決定餘弦。

提示 2

使用 5–12–13 比例。

完整解答

由象限決定餘弦。
計算或化簡此關係式。
$\cos\alpha=12/13;\quad\sin2\alpha=2(5/13)(12/13)=120/169$
銳角的正弦餘弦均正。

所求值為 0.71005917。

檢查與易錯點：銳角的正弦餘弦均正。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

cos α=3/5，求 cos 2α。

\cos\alpha=3/5

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

選只含餘弦的倍角式。

提示 2

先平方已知餘弦再乘二。

完整解答

選只含餘弦的倍角式。
計算或化簡此關係式。
$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=18/25-1=-7/25$
答案不必與 cos α 同號。

所求值為 -0.28。

檢查與易錯點：答案不必與 cos α 同號。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

精確求 sin 75°。

\sin(45^{\circ}+30^{\circ})

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

選與結構相符的恆等式，保留符號並檢查分母。

提示 2

把 75° 拆成兩個特殊角。

完整解答

選與結構相符的恆等式，保留符號並檢查分母。
計算或化簡此關係式。
$\sin75^{\circ}=\frac{\sqrt2}2\frac{\sqrt3}2+\frac{\sqrt2}2\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4$
和角正弦不等於正弦之和。

(√6+√2)/4。

檢查與易錯點：和角正弦不等於正弦之和。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

已知兩個正切值，求 tan(α+β)。

\tan\alpha=1,\quad\tan\beta=3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

選與結構相符的恆等式，保留符號並檢查分母。

提示 2

分子用和，分母用一減乘積。

完整解答

選與結構相符的恆等式，保留符號並檢查分母。
計算或化簡此關係式。
$\tan(\alpha+\beta)=\frac{1+3}{1-3}$
分母 1−3 不為零。

所求值為 -2。

檢查與易錯點：分母 1−3 不為零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

已知 π<α<3π/2 且 cos α=−3/5，求 sin(α/2) 的正負及值。

\pi<\alpha<3\pi/2,\quad\cos\alpha=-3/5;\quad\sin^2(\alpha/2)=(1-\cos\alpha)/2

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

選與結構相符的恆等式，保留符號並檢查分母。

提示 2

選平方根正負前先定位半角。

完整解答

選與結構相符的恆等式，保留符號並檢查分母。
計算或化簡此關係式。
$\pi/2<\alpha/2<3\pi/4;\quad\sin(\alpha/2)=\sqrt{4/5}$
指定區間而非單看終邊象限，才可確定半角正負；α 加上 2π 會令半角正弦變號。

為正，等於 2/√5。

檢查與易錯點：指定區間而非單看終邊象限，才可確定半角正負；α 加上 2π 會令半角正弦變號。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求合成正弦波的振幅。

y=9\sin x+12\cos x

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

選與結構相符的恆等式，保留符號並檢查分母。

提示 2

把兩係數視為互相垂直的分量。

完整解答

選與結構相符的恆等式，保留符號並檢查分母。
計算或化簡此關係式。
$A=\sqrt{(9)^2+(12)^2}=15$
振幅是係數對的歐氏長度。

所求值為 15。

檢查與易錯點：振幅是係數對的歐氏長度。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

證明恆等式，並保留原本不允許的輸入。

\frac{\sin^2x}{1-\cos x}=1+\cos x

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

分解平方差。

提示 2

只在 1−cos x 非零時約去。

完整解答

分解平方差。
計算或化簡此關係式。
$\sin^2x=1-\cos^2x=(1-\cos x)(1+\cos x)$
化簡後右式的定義域比原左式較大。

在 cos x≠1 處成立。

檢查與易錯點：化簡後右式的定義域比原左式較大。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

α、β 均銳角，由所給值求 sin(α−β)。

\sin\alpha=3/5,\quad\cos\alpha=4/5,\quad\sin\beta=5/13,\quad\cos\beta=12/13

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

按差角公式配對正弦餘弦。

提示 2

兩乘積為 36/65 及 20/65。

完整解答

按差角公式配對正弦餘弦。
計算或化簡此關係式。
$\sin(\alpha-\beta)=3/5\cdot12/13-4/5\cdot5/13=16/65$
負號在兩乘積之間。

所求值為 0.24615385。

檢查與易錯點：負號在兩乘積之間。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

tan α=2，求 tan 2α。

\tan\alpha=2

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

用正切倍角恆等式。

提示 2

檢查 1−tan²α 非零。

完整解答

用正切倍角恆等式。
計算或化簡此關係式。
$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=4/(1-4)=-4/3$
分母為負，決定結果符號。

所求值為 -1.33333333。

檢查與易錯點：分母為負，決定結果符號。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

推導 cos x cos y 的積化和差公式。

\cos x\cos y

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把兩個餘弦和差角公式相加。

提示 2

正弦乘積項互相抵消。

完整解答

把兩個餘弦和差角公式相加。
計算或化簡此關係式。
$\cos(x-y)+\cos(x+y)=2\cos x\cos y$
不須除以三角式，因此對所有實數 x、y 成立。

[cos(x−y)+cos(x+y)]/2。

檢查與易錯點：不須除以三角式，因此對所有實數 x、y 成立。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

提問順序

使用「三角恆等變換」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
改變一項假設後，原結論還成立嗎？

板書重點

運用三角恆等變換，並明示角量單位及定義域。
和角：和角公式須配對正弦與餘弦的乘積。
$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$
等價形式：選與已知資料相符的倍角或半角形式。
總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

預期想法

預期理由：和角公式須配對正弦與餘弦的乘積。
預期理由：選與已知資料相符的倍角或半角形式。
預期修正：約去因數不能恢復原本禁止的輸入。

評核清單

1：辨識已知條件及所求。
1：選取合適定義、表示或方法。
1：推理連貫且正確。
1：檢驗條件並解釋結果。